Đề cương Xử lý tín hiệu số - Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc

Nội dung text: Đề cương Xử lý tín hiệu số - Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc

1. ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC – XỬ LÝ TÍN ĐHNN Hà nội HIỆU SỐ Chương 1: Tín hiệu & hệ thống rời rạc Chương 2: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống trong miền phức Z Chương 3: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống trong miền tần số liên tục Chương 4: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống trong miền tần số rời rạc Chương 5: Tổng hợp bộ lọc số FIR Chương 6: Tổng hợp bộ lọc số IIR Khoa CNTT
2. FITA-ChHUA ương 1: TÍN HIỆU & HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG 1.2 TÍN HIỆU RÒI RẠC 1.3 HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN 1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH 1.5 SƠ ĐỒ THỰC HIỆN HỆ THỐNG 1.6 TƯƠNG QUAN CÁC TÍN HIỆU
3. 1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG FITA- HUA 1.1.1 KHÁI NiỆM VÀ PHÂN LOẠI TÍN HiỆU Khái niệm tín hiệu  Tín hiệu là biểu hiện vật lý của thông tin  Tín hiệu được biểu diễn một hàm theo một hay nhiều biến số độc lập.  Ví dụ về tín hiệu:  Tín hiệu âm thanh, tiếng nói là sự thay đổi áp suất không khí theo thời gian  Tín hiệu hình ảnh là hàm độ sáng theo 2 biến không gian và thời gian  Tín hiệu điện là sự thay đổi điện áp, dòng điện theo thời gian
4. Phân loại tín hiệu FITA- HUA Tín hiệu Tín hiệu liên Tín hiệu rời rạc tục Tượng Lượng Tín hiệu Tín hiệu lấy tự tử số mẫu
5. Phân loại tín hiệu FITA- HUA  Tín hiệu liên tục: biểu diễn toán học có biến là liên tục  Tín hiệu rời rạc: hàm biểu diễn có biến rời rạc Tín hiệu Tín hiệu tương rời rạc Tín hiệu Tín hiệu tự (lấy lượng tử số (analog) mẫu) Hàm Liên tục Liên tục Rời rạc Rời rạc Biến Liên tục Rời rạc Liên tục Rời rạc
6. Phân loại tín hiệu FITA- HUA xa(t) xa(nTs) t n 0 0 Ts 2Ts Tín hiệu tương tự Tín hiệu rời rạc xq(t) xd(n) 9q 9q 8q 8q 7q 7q 6q 6q 5q 5q 4q 4q 3q 3q 2q t 2q n q q 0 0 Ts 2Ts Tín hiệu lượng tử Tín hiệu số
7. 1.1.2 KHÁI NiỆM VÀ PHÂN LOẠI HỆ THỐNG FITA- HUA Khái niệm hệ thống  Hệ thống đặc trưng toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi tín hiệu vào x thành tín hiệu ra y x T y Hệ thống  Các hệ thống xử lý tín hiệu:  Hệ thống tương tự: Tín hiệu vào và ra là tương tự  Hệ thống rời rạc: Tín hiệu vào và ra là rời rạc  Hệ thống số: Tín hiệu vào và ra là tín hiệu số
8. Phân loại các hệ thống xử lý tín FITA- HUA hiệu rời rạc • Ví dụ: T là toán tử trễ : Khi đó ta có : T[x(n)] = x(n-k) = y(n)
9. Phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc FITA- HUA x(n) T y(n) Hệ thống  Hệ thống tuyến tính & phi tuyến  Hệ tuyến tính: T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1T[x1(n)]+a2T[x2(n)]  Hệ phi tuyến: không thoả tính chất trên  Hệ thống bất biến & thay đổi theo thời gian  Hệ bất biến theo thời guan: nếu tín hiệu vào dịch đi k đơn vị x(n-k) thì tín hiệu ra cũng dịch đi k đơn vị y(n-k)  Hệ thay đổi theo thời gian: không thoả tính chất trên
10. Phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc FITA- HUA  Hệ thống nhân quả & không nhân quả  Hệ nhân quả: Tín hiệu ra chỉ phụ thuộc tín hiệu vào ở thời điểm quá khứ và hiện tại  Hệ không nhân quả: không thoả tính chất trên  Hệ thống ổn định & không ổn định  Hệ thống ổn định: nếu tín hiệu vào bị chặn |x(n)| < ∞ thì tín hiệu ra cũng bị chặn |y(n)| < ∞  Hệ thống không ổn định: không thoả tính chất trên
11. 1.3 TÍN HIỆU RỜI RẠC FITA- HUA 1.3.1 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU RỜI RẠC  Tín hiệu rời rạc được biểu diễn bằng một dãy các giá trị với phần tử thứ n được ký hiệu x(n). Tín hiệu liên tục Lấy mẫu Tín hiệu rời rạc xa(t) t = nT x (nT )  x(n) s s s Ts=1 Với Ts – chu kỳ lấy mẫu và n – số nguyên  Tín hiệu rời rạc có thể biểu diễn bằng một trong các dạng: hàm số, dãy số & đồ thị.
12. FITA- HUA (0.5)n : 0≤ n≤ 3  Hàm số: 0: ¿ x(n)= ¿n{¿ còn¿¿ lại ¿ 1 1 1  Dãy số: x(n)= 1 , , ,  - Gốc thời gian n=0 {↑ 2 4 8 }  Đồ thị: x(n) 1 0.5 0.25 0.125 n 0 1 2 3 4
13. 1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN FITA- HUA  Dãy xung đơn vị: (n) 1: n= 0 1 0: ¿ n δ( n)= ¿n {còn¿¿ lại¿ ¿ -2 -1 0 1 2  Dãy nhảy bậc đơn vị: u(n) 1: n≥ 0 1 0: n< 0 ¿ n u (n)= ¿{¿¿¿ ¿ -2 -1 0 1 2 3  Dãy chữ nhật: rectN(n) 1: N-1≥ n≥ 0 0 :n 1 ¿ n rect (n)= ¿{¿¿¿ N còn lại ¿ -2 -1 0 1 N-1 N
14. 1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN FITA- HUA r(n)  Dãy dốc đơn vị:  3 n: n≥ 0 0:n< 0 2 ¿ r (n)= ¿{¿¿¿ 1 ¿ n -2 -1 0 1 2 3  Dãy sin: s(n) s( n)= sin(ω0 n) 1 0=2 /8 n 0 1 2 3 4 -1
15. 1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN FITA- HUA  Dãy hàm mũ thực: an : n≥ 0 0:n< 0 ¿ e(n)= ¿{¿¿¿ ¿
16. 1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HiỆU FITA- HUA Cho 2 dãy: x1( n)= 1,2 ,3 ; x2(n)= 2,3 , 4 { ↑ } { ↑ } a. Cộng 2 dãy: Cộng các mẫu 2 dãy với nhau x1( n)+ x2( n)= 3,5 ,7 tương ứng với chỉ số n { ↑ } b. Nhân 2 dãy: Nhân các mẫu 2 dãy với nhau x1( n) x2 (n)= 2,6,12 tương ứng với chỉ số n { ↑ }
17. 1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HiỆU FITA- HUA Cho dãy: x(n)= 1, 2, 3 { ↑ } c. Dịch: x(n) ->x(n-no) n >0 – dịch sang phải 0 x(n− 1)= {1 ,2,3}; x(n+ 1)= {1,2,3} n0 x(-n) Lấy đối xứng x(n)= 1, 2,3 ⇒x(− n)= 3,2 ,1 qua trục tung { ↑ } { ↑ }
18. 1.2.4 NĂNG LƯỢNG VÀ CÔNG SUẤT TÍN HiỆU FITA- HUA a. Năng lượng dãy x(n): ∞ Nếu ∞>E >0 thì x(n) gọi 2 x E x= ∑ x( n) là tín hiệu năng lượng n= − ∞ Ở đây | | là modul b. Công suất trung bình dãy x(n): N 1 2 P x= Lim ∑ x(n ) N →∞ ( 2N+ 1) n= − N Nếu ∞>Px>0 thì x(n) gọi là tín hiệu công suất
19. FITA- HUA Ví dụ 1.2.1: Cho x(n )= rect 10 (n ); y( n)= u(n ) Các tín hiệu trên tín hiệu nào là công suất, năng lượng? ∞ 9 E = x( n)2 2 x ∑ = ∑ rect 10 ( n)= 10 n= − ∞ n= 0 9 10 1 2 = Lim = 0 P x= Lim ∑ rect 10(n ) N →∞ ( 2N+ 1) n= 0 N →∞ (2N+ 1) ∞ ∞ 2 2 E y = ∑ y( n) = ∑ u(n)= ∞ n= − ∞ n= 0 N 1 2 N + 1 1 P y= Lim ∑ u( n) = Lim = N →∞ (2N+ 1) n= 0 N →∞ (2N+ 1) 2
20. 1.3 HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BiẾN FITA- HUA 1.3.1 ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ THỐNG a. Biểu diễn tín hiệu theo các xung đơn vị Ví dụ 1.3.1: Biểu diễn dãy x(n )= {1,2,3,4,5} ↑ theo các xung đơn vị x(n)= 1δ(n+ 2)+ 2δ( n+ 1)+ 3δ(n)+ 4δ( n− 1) + 5δ(n− 2) x(n)= x(− 2)δ(n+ 2)+ x(− 1)δ (n+ 1 )+ x(0)δ(n) + x(1)δ( n− 1 )+ x( 2)δ(n− 2) ∞ Tổng quát: x(n)= ∑ x(k )δ (n− k ) k= − ∞
21. FITA- HUA b. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến x(n) y(n)=T[x(n)] T (n) h(n)=T[(n)] Đáp ứng xung của hệ thống là đáp ứng khi tín hiệu vào là dãy xung đơn vị, ký hiệu h(n) ∞ Với x(n)= ∑ x(k )δ (n− k ) , suy ra: k= − ∞ ∞ ∞ y(n)= T [x(n)]= T ∑ x(k )δ(n− k) = ∑ x( k )T [δ (n− k )] [k= − ∞ ] k= − ∞ ∞ Phép tích chập 2 y(n)= ∑ x(k )h( n− k )= x( n)h( n) dãy x(n) và h(n) k= − ∞
22. b. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến FITA- HUA x(n) h(n) y(n)= x(n) * h(n)  h(n) đặc trưng hòan tòan cho hệ thống trong miền n c. Cách tìm tích chập ∞ y(n)= x(n)h(n)= ∑ x( k)h(n− k ) k= − ∞ • Đổi biến số n ->k: x(k) & h(k) • Gập h(k) qua trục tung, được h(-k) • Dịch h(-k) đi n đơn vị: sang phải nếu n>0, sang trái nếu n<0 được h(n-k) • Nhân các mẫu 2 dãy x(k) và h(n-k) và cộng lại
23. FITA- HUA Ví dụ 1.3.2: Cho 2 dãy x(n )= {2 ,3,4}và h(n)= {1,2 ,3}Ư ↑ ↑ Hãy tìm y(n) = x(n)*h(n) . Đổi biến số n->k: x(k )= {2, 3,4}và h(k )= {1,2 , 3}Ư ↑ ↑ . Gập h(k) qua trục tung: h(− k )= {3, 2 ,1}Ư ↑ . Xác định h(n-k): x(k) h(-k) h(1-k) 3 3 3 n n n -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 h(2-k) h(3-k) h(-1-k) 3 3 3 n n n 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1
24. FITA- HUAh(1− k )= {3 ,2,1}Ư ↑ n>0 dịch h(2− k )= {0 ,3,2,1}Ư ↑ sang phải h(3− k )= {0, 0,3,2,1}Ư Ư ↑ h(− 1− k )= {3,2,1}Ư ↑ n<0 dịch h(− 2− k )= {3,2,1,0}Ư sang trái Ư ↑ . Nhân các mẫu 2 dãy x(k) & h(n-k) và cộng lại được y(n) y(0)= ∑ x(k )h(0− k )= 7Ư Ư k y(− 1)= ∑ x( k )h(− 1− k )= 2 y(1)= ∑ x(k )h(1− k )= 16Ư k k y(− 2)= ∑ x(k )h(− 1− k )= 0 y(2)= ∑ x(k )h(2− k )= 17 Ư k Ư k y(n)= {2, 7,16 ,17 ,12}Ơ y(3)= ∑ x(k )h(3− k )= 12 ↑ k
25. FITA- HUA d. Các tính chất của tích chập . Giao hoán: y(n) = x(n)*h(n)=h (n)*x(n) . Kết hợp: y(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] = [x(n)*h1(n)]*h2(n) . Phân phối: y(n) = x(n)*[h1(n) +h2(n)] = x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)
26. 1.3.2 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TTBB FITA- HUA Định nghĩa : HTTTBB gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở một thời điểm bất kỳ n = no hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở thời điểm tương lai Định lý 1: Hệ thống TTBB là nhân quả  h(n)=0: n hệ nhân quả b) h(n)=(n+1)+ (n)+3(n-1): Do h(-1)=1 -> hệ không nhân quả
27. 1.3.2 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TTBB FITA- HUA Định nghĩa : HTTTBB gọi là ổn định, nếu đầu vào của dãy là giới hạn thì đáp ứng đầu ra cũng giới hạn. Tức là | x ( n ) | thì y ( n ) S=1/(1-|a|) : hệ ổn định . |a| 1 ->S=∞: hệ không ổn định
28. 1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TTHSH FITA- HUA 1.4.1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH N M ∑ ak (n) y(n− k )= ∑ br (n) x(n− r ) k= 0 r= 0 Với: N – gọi là bậc của phương trình sai phân: N,M>0 ak(n), br(n) – các hệ số của phương trình sai phân 1.4.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH N M ∑ ak y(n− k )= ∑ br x(n− r ) k= 0 r= 0 Với: ak , br – không phụ thuộc vào biến số n
29. 1.4.3 GiẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH FITA- HUA . Tìm nghiệm của PTSP thuần nhất: yh(n) . Tìm nghiệm riêng của PTSP: yp(n) . Nghiệm tổng quát của PTSP: y(n) = yh(n) + yp(n) a. Nghiệm của PTSP thuần nhất: yh(n) Giả thiết  n là nghiệm của PTSP thuần nhất: N ∑ ak y(n− k )= 0 k= 0 Phương trình đặc trưng có dạng: N N − 1 1 a0 α + a1 α + + a N− 1 α + aN = 0
30. FITA- HUAa. Nghiệm của PTSP thuần nhất (tt) . Phương trình đặc trưng có nghiệm đơn 1, 2, N n n n yh( n)= A1 α1+ A2 α2+ + AN αN . Phương trình đặc trưng có nghiệm 1 bội r r− 1 n n n yh( n)= ( A0+ A1 n+ + Ar− 1 n )α1+ A2 α2+ + AN αN b. Nghiệm riêng của PTSP: yp(n) . Thường chọn yp(n) có dạng giống với x(n)
31. FITA- HUA Ví dụ 1.4.1: Giải PTSP: y(n)- 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) (*) với n 0, biết y(n)=0: n<0 và x(n)=3n . Tìm nghiệm của PTSP thuần nhất yh(n) yh(n) là nghiệm của phương trình: y(n) - 3y(n-1) + 2y(n-2) = 0 2 Phương trình đặc tính:  - 3 + 2 = 0 1=1; 2=2 n n yh(n) = (A11 + A22 ) . Tìm nghiệm riêng của PTSP yp(n) n Chọn yp(n) có dạng yp(n)=B3 , thay vào PTSP (*) : B3n - 3B3n-1 +2 B3n-2 = 3n B = 9/2 . Nghiệm tổng quát của PTSP: n n n y(n) = yh(n) + yp(n) = (A11 + A22 )+ 4.5 3
32. FITA- HUA . Nghiệm tổng quát của PTSP: n n n y(n) = (A11 + A22 )+ 4.5 3 Dựa vào điều kiện đầu: y(n)=0: n<0: Từ: y(n)= 3y(n-1) - 2y(n-2) + x(n) với x(n)=3n 0 y(0)=3y(-1)-2y(-2)+3 =1=A1+A2+4.5 A1=0.5 1 1 A =- 4 y(1)= 3y(0)-2y(-1)+3 =6=A1+2A2+4,5.3 2 Vậy: y(n) = 0.5 1n - 4 2n + 4,5 3n : n 0
33. FITA1.5- HUA SƠ ĐỒ THỰC HIỆN HỆ THỐNG 1.5.1 HỆ THỐNG ĐỆ QUI & KHÔNG ĐỆ QUI a. Hệ thống không đệ qui . Hệ thống không đệ qui là hệ thống đặc trưng bởi PTSP TTHSH bậc N=0 M y(n)= ∑ br x(n− r ): a0= 1 r= 0 M h(r)= br ⇒y(n)= ∑ h(r ) x( n− r) L [h(r )]= M + 1 r= 0 . Hệ thống không đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung độ dài hữu hạn – FIR (Finite Impulse Response)
34. . Hệ thống không đệ qui luôn luôn ổn định do: FITA- HUA ∞ M S= ∑ h(r )= ∑ br 0 N M ∑ ak y(n− k )= ∑ br x(n− r ) k= 0 r= 0 . Hệ thống đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung độ dài vô hạn – IIR (Infinite Impulse Response) . Hệ thống đệ qui có thể ổn định hoặc không ổn định
35. FITA- HUA Ví dụ 1.5.1: Xét tính ổn định của hệ thống cho bởi: y(n) - ay(n-1) = x(n), biết y(n)=0:n y(0) =(0) + y(-1) = 1 . n=1 -> y(1)= (1) + ay(0) = a n . n=2 -> y(2)= (2) + ay(1) = a2 h(n)= a : n≥ 0 . n=3 -> y(3)= (3) + ay(2) = a3 . ∞ ∞ S = ∑ h(n)= ∑ an :  |a| S=1/(1-|a|): hệ ổn định n= 0 n= 0  |a| 1 ->S=∞: hệ không ổn định
36. FITA1.5.2- HUA SƠ ĐỒ THỰC HIỆN HỆ THỐNG a. Các phần tử thực hiện hệ thống . Bộ trễ: x(n) D y(n)=x(n-1) x1(n) M x2(n) . Bộ cộng: + y(n )= ∑ xi (n) i= 1 xM(n) . Bộ nhân: x(n) y(n) = x(n)
37. b. Sơ đồ thực hiện hệ thống không đệ qui FITA- HUA M = b x(n)+ b x(n− 1)+ + b x( n− M ) y(n )= ∑ br x(n− r ) 0 1 M r= 0 b0 x(n) + y(n) D b1 + D b 2 + D + bM
38. FITA- HUA Ví dụ 1.5.2: Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống cho bởi: y(n) = x(n) - 2x(n-1) + 3x(n-3) x(n) + y(n) D - 2 + D D 3
39. c. Sơ đồ thực hiện hệ thống đệ qui FITA- HUA M N y(n)= ∑ br x(n− r )− ∑ ak y( n− k ): a0= 1 r= 0 k= 1 b0 x(n) + + y(n) D D b1 - a1 + + D D b2 - a + + 2 D + + D bM - aN
40. FITA- HUA Ví dụ 1.5.3: Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống cho bởi: y(n) - 3y(n-1) + 2y(n-2) = 4x(n) - 5x(n-2) y(n) = 4x(n) - 5x(n-2) + 3y(n-1) - 2y(n-2) 4 x(n) + + y(n) D 3 D + D - 5 - 2 D
41. FITA1.6- HUA TƯƠNG QUAN CÁC TÍN HIỆU  Nếu có mục tiêu: y(n) = A x(n-n0) + (n)  Nếu không có mục tiêu: x(n) y(n) = (n) y(n) Với: A - hệ số suy hao (n) - nhiễu cộng  Tương quan các tín hiệu dùng để so sánh các tín hiệu với nhau
42. FITA1.6.1- HUA TƯƠNG QUAN CHÉO 2 TÍN HIỆU . Tương quan chéo 2 dãy năng lượng x(n) & y(n) định nghĩa: ∞ r xy( n)= ∑ x(m) y( m− n) m= − ∞ 1.6.2 TỰ TƯƠNG QUAN TÍN HIỆU . Tự tương quan của dãy x(n) được định nghĩa: ∞ r xx( n)= ∑ x(m) x(m− n ) m= − ∞  Tự tương quan của dãy x(n) nhận giá trị lớn nhất tại n=0