Dạng tiệm cận của sóng truyền trong môi trường đàn hồi phân lớp tuần hoàn khi xấp xỉ sóng dài

Nội dung text: Dạng tiệm cận của sóng truyền trong môi trường đàn hồi phân lớp tuần hoàn khi xấp xỉ sóng dài

1. BÀI BÁO KHOA HỌC DẠNG TIỆM CẬN CỦA SÓNG TRUYỀN TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI PHÂN LỚP TUẦN HOÀN KHI XẤP XỈ SÓNG DÀI Nguyễn Thị Khánh Linh1, Trần Thị Trâm2 Tóm tắt: Bài báo trình bày bài toán truyền sóng trong môi trường đàn hồi, phân lớp tuần hoàn trong trường hợp xấp xỉ sóng dài, hay khi các lớp đều mỏng. Các lớp vật liệu được giả thiết là không nén được và có biến dạng trước. Để giải quyết bài toán, phương pháp khai triển tiệm cận đã được sử dụng. Các biểu diễn tiệm cận của chuyển dịch, ứng suất đã được thiết lập. Vận tốc sóng được biểu diễn thành chuỗi luỹ thừa của tham số bé  kh , trong đó k là số sóng, h (được xác định trong công thức (3)) là độ dày một chu kỳ. Ba hệ số đầu tiên của chuỗi được xác định một cách trực tiếp. Các công thức truy hồi đã được thiết lập để xác định các hệ số tiệm cận bậc cao còn lại. Từ khóa: Truyền sóng, môi trường phân lớp tuần hoàn, dạng tiệm cận. 1. MỞ ĐẦU1 sóng dài, ta có:  Các bài toán truyền sóng trong môi trường 0  k . h 1 (1) đàn hồi (J. D. Achenback, 1973, A. H. Nayfeh, h 1995, J. M. Carione, 2001) có ứng dụng to lớn trong đó là độ dài đặc trưng của cấu trúc  trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và (chẳng hạn, h là độ dầy của một chu kỳ của một kỹ thuật như Âm học, Địa chấn học, Địa vật lý, cấu trúc phân lớp tuần hoàn). Với giả thiết (1), Khoa học vật liệu, Khoa học đánh giá không hư phương trình tán sắc có dạng tiệm cận như sau: hỏng, Chẩn đoán y học bằng hình ảnh, Công  2 c2     2    m 2 1 2 3 m 1 nghệ viễn thông, Vì các cấu trúc mỏng xuất k m 0 (2) hiện nhiều trong thực tế, nên sự truyền sóng  trong các cấu trúc này là đề tài thu hút sự quan trong đó m là các đại lượng cần xác định. tâm nghiên cứu của nhiều tác giả, chẳng hạn Norris và Santosa (A. Norris, et al, 1992) đã (H. F. Tiersten, 1973, , G. A. Rogerson, 1999). nghiên cứu sự truyền sóng SH (shear wave), Đối với các bài toán truyền sóng, mục tiêu sóng một thành phần (phương dao động của cơ bản là tìm ra phương trình tán sắc, có dạng: sóng vuông góc với phương truyền sóng), trong môi trường đàn hồi phân lớp tuần hoàn không c = /k = F(p1, p2, ) trong đó  là tần số có biến dạng trước. Các tác giả đã tìm ra các sóng, k là số sóng, c là vận tốc sóng, pi là các công thức xác định 1, 3 và chứng minh được tham số vật liệu. Sau khi xác định vận tốc sóng rằng 2 = 0. Gần đây, bài toán truyền sóng từ phương trình tán sắc, các đại lượng khác như “Lamb” (sóng hai thành phần: là sóng dạng tấm chuyển dịch, ứng suất, mới được xác định. hay là một dạng dao động trong các tấm mỏng Mặt khác, phương trình tán sắc của sóng là công có độ dày vật liệu nhỏ hơn bước sóng và dạng cụ quan trọng để giải bài toán ngược: xác định sóng này truyền trong toàn bộ tiết diện của môi các đặc trưng của vật liệu từ các giá trị đo được trường), trong môi trường đàn hồi phân lớp tuần của vận tốc sóng. hoàn, nén được, có biến dạng trước, được nghiên Khi các lớp vật liệu đều mỏng, hay khi xấp xỉ cứu trong (Bui Thanh Tu, et al, 2009). Các tác giả đã chứng minh được rằng 2m = 0, m 1, và tìm ra các công thức tính 1, 3, công thức 1 Bộ môn Cơ học kỹ thuật, Khoa Cơ khí, Trường Đại học truy hồi để xác định 2m+1, m 2. Thủy Lợi. 2 Bộ môn lý thuyết, Khoa Đại học Đại cương, Trường Đại Bài bào này là sự tiếp tục của nghiên cứu học Mỏ - Địa chất. (Bui Thanh Tu, et al, 2009) cho trường hợp môi 38 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 51 (12/2015)
2. trường là không nén được tức là nghiên cứu u u(,,), z z u u (,,), z z  u  0 1 1 1 2 22 1 2 3 sóng Lamb (sóng hai thành phần) trong môi phương trình chuyển động đối với nhiễu chuyển trường đàn hồi, không nén được và có biến dịch có dạng (M. A. Dowaikh, et al, 1990, G. A. dạng trươc). Đối với môi trường không nén được, sự xuất hiện thêm một ẩn hàm (là nhân tử Rogerson, 1999) Lagrange hay áp lực thủy tĩnh) làm cho bài toán s11,1 s 21,2 u 1 trở nên phức tạp hơn. Để vượt qua trở ngại này,  s12,1 s 22,2 u 2 các tác giả đã tìm cách đưa ẩn hàm này ra khỏi (4) các phương trình cơ bản, và kết quả là nhận trong đó dấu "," chỉ đạo hàm theo các biến z . được một hệ bốn phương trình đối với biên độ không gian i , dấu " " biểu thị đạo hàm theo của hai thành phần chuyển dịch và hai thành thời gian, : khối lượng riêng của vật liệu phần ứng suất, có dạng tương tự như đối với s B u B u p trường hơp nén được. Áp dụng các kỹ thuật 11 1111 1,1 1122 2,2 (5) s B u B u p được trình bầy trong (Bui Thanh Tu, et al, 2009), 22 1122 1,1 2222 2,2 (6) các công tính 1, 3, công thức truy hồi để xác * s21 B 2121 u 1,2 B 2112 u 2,1 định 2m+1 (m 2) đã được tìm ra, và các đẳng (7) s B u B* u thức 2m, m 2 đã được chứng minh. 12 1212 2,1 1221 1,2 (8) 2. ĐẶT BÀI TOÁN p* Xét sự truyền của sóng Lamb (sóng hai thành là nhiễu áp lực thủy tĩnh B* = B + p phần) trong môi trường vô hạn, phân lớp tuần ijkl ij kl (9) hoàn, mỗi chu kỳ gồm N lớp vật liệu khác nhau trong đó p là áp lực thủy tĩnh tại trạng thái ban (N 2). Giả sử các lớp vật liệu là đàn hồi, đầu, B được xác định bởi các công thức sau không nén được và có biến dạng ban đầu thuần ijkl (M. A. Dowaikh, et al, 1990, G. A. Rogerson, 1999): nhất (M. A. Dowaikh, et al, 1990, G. A. Rogerson, 2W 1999). Tại trạng thái biến dạng ban đầu ta sử B   iijj i j    dụng hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oz1z2z3 chung i j 2 cho cả môi trường, trong đó mặt phẳng Oz1z3 WW  i (),i  j 2 2 trùng với mặt đáy của lớp đầu tiên của một chu      i j i j h h kỳ nào đó (xem hình vẽ 1). Ký hiệu và là (,)i j i  j Bijij độ dày lớp thứ i và độ dày một chu kỳ tại trạng 1 W ()BB  thái ban đầu, khi đó ta có: 2 iiii iijj i      i h h1 h 2  hN . (3) (,)i j i  j W B B B  () i j ijji jiij ijij i  i (10) i là các độ dãn chính của biến dạng (M. A. Dowaikh, et al, 1990, G. A. Rogerson, 1999), và 123 = 1 (điều kiện không nén được ở trạng ) thái ban đầu), W = W(1, 2, 3 là thế năng đàn hồi. Chú ý rằng i là hằng số đối với từng lớp vật liệu, và có giá trị khác nhau đối với các lớp Hình 1 vật liệu khác nhau. Bỏ qua lực khối, xét trường hợp biến dạng Điều kiện không nén được đối với nhiễu phẳng: chuyển dịch là KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 51 (12/2015) 39
3. u u 0 1,1 2,2 (11) Tương tự, từ (8) và phương trình thứ hai của Từ (7) ta suy ra (4), ta được * * 1 B B1221 2112 s22,2 u2 u2,11 s21,1 u1,2 s 21 u 2,1 BB B2121 2121 2121 (12) (16) *2 Từ điều kiện không nén được (11) B1221  B1212 u u B2121 2,2 1,1 (13) ở đây . Từ (6), (13) suy ra Dưới dạng ma trận (toán tử) bốn phương p s () B B u trình (12), (13), (15), (16) được viết như sau 22 2211 2222 1,1 (14)  Từ (14), (5) và phương trình thứ nhất của (4), M z ta có 2 (17) s u 2  u s trong đó 21,2 1 1,11 22,1 (15) * * trong đó 2 B1111 B2222 2B1122 B* 1 0 2112  0 BB1 2121 2121 T 1 0 0 0  u1 u 2 s 21 s 22  ; M 2 2 t 2  1 0 0  1 * 2 2 B2112 0 t 2  1  1 0 B2121  2 2 dY() z trong đó  , 2 , 2 . B( z ) Y ( z ), (20) 1 1 2 t 2 dz z1 z1  trong đó Giả sử sóng truyền theo hướng Oz1 với vận Y()()()()(), z  U z U z T z T z T tốc c , số sóng k . Khi đó ta tìm nghiệm của (17) 1 2 1 2 * dưới dạng sau: B2112 1 0 i 0 ik()() z1 ct ik z 1 ct BB u U(),, z e u U e 2121 2121 1 1 2 2 (18) ik()() z1 ct ik z 1 ct i 0 0 0 s21 kT 1(),(). z e s 22 kT 2 z e B 2 2 c 0 0 i trong đó z kz2 . Thay (18) vào (12), (13), B* (15), và (16) ta thu được 0 c2 i 1221 0 * B2121 ''1 B2112 (21) U1 T 1 i U 2; U 2 iU 1 ~ BB2121 2121 Do B z là hàm tuần hoàn chu kỳ kh , theo ' 2 T1 (2 c ) U 1 iT 2 , định lý Floquet ta có  B* Y(0) Y ( kh ) (22) T' (). c 2 U i1221 T 2 2B 1 Nhân cả hai vế của (20) với h và chú ý 2121 (19) z kz ta có: dấu phẩy trong (19) chỉ đạo hàm theo biến 2 dY z . Dưới dạng ma trận (19) được viết dưới như khBY . (23) d(/) z h sau 2  Đưa vào biến mới y3 z 2 / h , khi đó (23) có 40 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 51 (12/2015)
4. dạng: 0 0 0 0 dY() y 0 0 0 0 3  B()() y3 Y y 3 (24) L dy3 1 0 0 0 Từ điều kiện (22) suy ra nghiệm của (24) 0 1 0 0 thỏa mãn điều kiện tuần hoàn 3.1. Biểu diễn nghiệm Y YY(1) (0) (25) Để giải (24) ta khai triển Y dưới dạng: Như vậy bài toán đưa về tìm nghiệm của (24) Y YYYY 1  2   n . (26) trên đoạn [0, 1] với điều kiện (25). 0 1 2  n n 0 3. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC Tiến hành tương tư như trong (Bui Thanh Tu, Như đã biết phương trình tán sắc được biểu et al, 2009), ta có diễn bởi (2), trong đó m (m 1) là các đại Yj( y3 ) R j 1 ( y 3 ) Y (0), j 0,1,2 , (27) lượng cần tìm. Thay (2) vào (21) ta được: trong đó R I (ma trận đơn vị), 2 1 B B0 B1  B2 (26) y R( y ) T ( y ) 3 B ,  n 1, (28) trong đó: n3 n 3 n n y * T() y 3 B R B2112 1 n3 n m m 1 (29) 0 i 0 m 1 BB y3 y 3 y 3 2121 2121 B R B R  B R, (  n 1,2,  ) n 1 0 n 2 1 0 n 1 i 0 0 0 B0 , 2 1 0 0 i * B1221 0 1 i 0 B2121 Bj  j 1 L,  j 1,2,3, , y y y R T 3 B,(). 3  3  x dx (30) 0 0 0 0 Thay (27) vào (26), ta được: 1 2 n (31) Y( y3 ) [][]I  R0 ( y 3 )  R 1 ( y 3 )  Y (0)   Rn 1 ( y 3 ) Y (0). n 0 Thay (31) vào (25) ta có: 1 2 n (32) [][]SSSYSY0  1  2  (0)   n (0) 0 n 0 trong đó Sn R n (1), n 0,1,2  . (33) Để (32) có nghiệm khác không thì định thức của hệ phải bằng không, tức là: n1 2 j (34) det[][] SSSSSn det0  1  2   j  0. n 0 Ký hiệu ABCDj,,, j j j lần lượt là các ma trận cột thứ 1, thứ 2, thứ 3, thứ 4 của ma trận Sj , j 0,1,2, , khi đó phương trình (34) có dạng: det[iABCD i ,   j j ,   k k ,   h h ] det[A0  A 1  2 A 2  +  j A j  , i 0 j 0 k 0 h 0 BBBB0  1  2 2 +  j j  , (35) C 0 CC 1  2 2 +  jC j  , D0 DD 1  2D 2 +  j j  ] 0 Từ (35), suy ra KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 51 (12/2015) 41
5. i j k h m  det[Ai B j C k D h ] 0, ( m 0,1,2, ). 0 i , j , k , h m (36) 3.2 Xác định 1 Tư tượng như trong (Bui Thanh Tu, et al, 2009), sử dụng (28), (34) và (36) với m = 0, 1, 2 dẫn đến * 2 B 1   2112 B 1 B 2121  2121 (37) 1 2 0 1  s0 s 2 s 0 s 2 s 0 s 2 s 0 t 2(1) s 0 M . 3 13 12 43 13 42 43 12 42 13 (39) 0 2 2 trong đó: sij, s ij , t42 là các phần tử trong các ma trận SST0,, 2 2 và MABCDABCDABCDABCD det[1100 ] det[ 1010 ] det[ 0101 ] det[ 0011 ]. (40) với A0,,,,,,,BCDABCD 0 0 0 1 1 1 1 là các ma trận cột xấp xỉ bậc 0 và bậc 1 của các ma trận A j,,,BCD j j j . 1 Ký hiệu f:() f y dy là giá trị trung bình của hàm f trên đoạn [0, 1]. 3 3 0 Tiến hành tương tự như trong bài báo (Bui Thanh Tu, et al, 2009), ta thu được kết quả sau đây 2n 0, n 1, 2, 3, (41) 2n 0 2 n 0 2 n 0 2 n 0 s12 s 43 s 13 s 42 s 43 s 12 t 42(1) s 13 1 0 u v s t 2 n 2n 1 s 42 u v s t , det[ABC D ] (42)  0 u , v , s , t 2 n n 1 có biến dạng trước. Với giả thiết các lớp vật trong đó: s0, s 2n, t 2 n là các phần tử trong các ij ij 42 liệu đều mỏng, hay khi xấp xỉ sóng dài, trường u v s t 2 n u v s t sóng, cũng như vận tốc sóng được biếu diễn ma trận SST0,, 2n 2 n và  det[]ABCD 0 u , v , s , t 2 n thành chuỗi lũy thừa của tham số bé . Kết được xác định từ (35). quả chính của bài báo là xác định được các hệ Công thức (42) chính là công thức truy hồi số trong khai triển tiệm cận của vận tốc sóng. cần tìm để tính 2n 1,n 1. Cụ thể: 4. KẾT LUẬN Tìm ra các công tính WW1, 3 , công thức truy Bài báo nghiên cứu bài toán truyền sóng hồi để xác định W, "m ³ 2 . Chứng minh được Lamb (sóng hai thành phần) trong môi trường 2m + 1 rằng W =0, "m ³ 1. đàn hồi phân lớp tuần hoàn, không nén được, 2m TÀI LIỆU THAM KHẢO J. D. Achenbach, (1973), Wave propagation in Elastic Solids, North-Holland, Amsterdam 1973. A. H. Nayfeh, (1995), Wave propagation in layered anisotropic media with applications to composites, Elsevier. 42 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 51 (12/2015)
6. J. M. Carcione, (2001), Wave fields in real media: wave propagation in anisotropic anelastic and porous media, Pergamon. H. F. Tiersten, (1969), Elastic surface waves guided by thin films, J. Appl. Phys., Vol. 40, pp. 770-789. A. H. Nayfeh, (1974), Time-harmonic waves propagating normal to the layers of multilayered periodic media, J. Appl. Mech, Vol. 41, pp. 92-96., A. Norris and F. Santosa, (1992) Shear wave propagation in a periodically layered medium – an asymptotic theory, Wave Motion, Vol. 16, pp. 33-55 Pham Chi Vinh, (1994), Propagation of the floquet wave along to layers of multilayered periodic media with homogenenous initial deformations, Proc. NSCT of Vietnam, Vol. 6, No. 2, pp. 21-31. Bui Thanh Tu, Pham Chi Vinh, Nguyen Thi Khanh Linh, (2009), Asymptotic expansion of the dispersion equation of lamb waves in periodically layered elastic media, Vietnam Journal of Mechanics, Vol. 31, pp. 31-46. M. A. Dowaikh and R. W. Ogden, (1990), On Surface Waves and Deformations in a Pre-stressed Incompressible Elastic Solid, IMA Journal of Applied Mathematics, Vol. 44, pp. 261-284 G.A. Rogerson, K.J. Sandiford, (1999), Harmonic wave propagation along a non-principal direction in a pre-stressed elastic plate, International Journal of Engineering Science, Vol. 37, pp. 1663 ± 1691. Abstract: ASYMPTOTIC EXPANSION OF THE DISPERSION EQUATION OF TWO-COMPONENT WAVE IN PERIODICALLY LAYERED ELASTIC MEDIA WITH INITIAL DEFORMATIONS The present paper deals with the problem on two-component wave propagation in periodically layered, in the case of long wavelength approximation or the layers are thin. The mediums assumed are incompressible elastic media with initial deformations. This problem is solved by applying asymptotic expansion method. The asymptotic expressions of the displacement, the stress has been established. Wave velocity is a series of powers of small parameter  kh, where k is the wave number, h is the thickness of one periodicity cell. The first three coefficients of the series are determined directly. The recurrent formulas are constructed to determine coefficients of higher power. Keywords: propagation, periodically layered elastic media, asymptotic expansion. BBT nhận bài: 17/6/2015 Phản biện xong: 03/12/2015 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 51 (12/2015) 43