›
›

Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 5: Biến đổi Z

pdf 81 trang ngocly 1330
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 5: Biến đổi Z", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_xu_ly_tin_hieu_so_chuong_5_bien_doi_z.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 5: Biến đổi Z

  1. BABAØØII GIAGIAÛNGÛNG XXÖÛÖÛ LYLYÙÙ SOSOÁÁ TTÍÍNN HIEHIEÄÄUU BieânBieân soasoaïïn:n: PGS.TSPGS.TS LEÂLEÂ TIETIEÁÁNN THTHÖÖÔÔØØNGNG Tp.HCM, 02-2005
  2. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ 5.1 Nhöõng tính chaát cô baûn 5.2 Mieàn hoäi tuï 5.3 Nhaân quaû vaø söï oån ñònh 5.4 Phoå taàn soá 5.5 Bieán ñoåi Z ngöôïc
  3. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ 5.1 Nhöõng tính chaát cô baûn Bieán ñoåi z laø coâng cuï cô baûn ñeå thieát keá, phaân tích vaø bieåu dieãn cuûa caùc boä loïc soá. Bieán ñoåi z cuûa tín hieäu rôøi raïc veà thôøi gian x(n) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: n=∞ X ()z = ∑ x ()n z−n (bieán ñoåi z) (5.1.1) n=−∞ hoaëc döôùi daïng caùc soá haïng: X(z) = +x(-2)z2 + x(-1)z + x(0) + x(1)z-1 + x(2)z-2 + Neáu tín hieäu x(n) laø nhaân quaû thì chæ luyõ thöøa aâm z-n, n ≥ 0 xuaát hieän trong coâng thöùc khai trieån.
  4. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ñònh nghóa (5.1.1) coù theå ñöôïc aùp duïng cho chuoãi ñaùp öùng xung h(n) cuûa boä loïc soá. Bieán ñoåi z cuûa h(n) ñöôïc goïi laø haøm truyeàn cuûa boä loïc ñöôïc ñònh nghóa: n=∞ H ()z = ∑h ()n z−n (haøm truyeàn) (5.1.2) n=−∞ Ví duï 5.1.1: Xaùc ñònh haøm truyeàn H(z) cuûa hai boä loïc nhaân quaû cuûa ví duï 3.4.3 (a) h = {h0, h1, h2, h3} = {2,3,5,2} (b) h = {h0, h1, h2, h3, h4} = {1,0,0,0,-1}
  5. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Giaûi: Duøng ñònh nghóa (5.1.2), ta coù: -1 -2 -3 -1 -2 -3 H(z)= h0 + h1z + h2 z + h3 z = 2 + 3z + 5z + 2z ñoái vôùi caâu a, vaø -1 -2 -3 -4 -4 H(z)= h0 + h1z + h2 z + h3 z + h4 z = 1 - z ñoái vôùi caâu b. Coù 3 tính chaát cuûa bieán ñoåi z maø thuaän lôïi cho vieäc phaân tích vaø toång hôïp cuûa caùc heä thoáng tuyeán tính: - Tính tuyeán tính -Tính treã -Tính chaäp
  6. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Tính tuyeán tính: bieán ñoåi z cuûa toå hôïp tuyeán tính caùc tín hieäu baèng toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc bieán ñoåi z ñoù. Z a1x1()n + a2x2 (n)()⎯⎯→ a1X1 z + a2X2 (z) (5.1.3) Tính treã: treã tín hieäu bôûi D maãu seõ töông ñöông vôùi tích bieán ñoåi z cuûa noù vôùi heä soá z-D. x()n ⎯⎯→Z X (z)⇒ x(n − D)⎯⎯→Z z−D X (z) (5.1.4) Tính chaäp: chaäp trong mieàn thôøi gian trôû thaønh tích trong mieàn z. y()n = h(n)*x(n)⇒ Y(z)()= X z H(z) (5.1.5)
  7. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ví duï 5.1.2: Hai boä loïc cuûa ví duï treân vaø cuûa ví duï 3.4.3 coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng “ñoùng” sau: (a) h(n) = 2δ(n) + 3δ(n-1) + 5δ(n-2) + 2δ(n-3) (b) h(n) = δ(n) - δ(n-4) Haøm truyeàn coù theå ñaït ñöôïc baèng caùch duøng tính treã vaø tính tuyeán tính nhö sau: Tröôùc heát, chuù yù bieán ñoåi z cuûa δ(n) laø 1. n=∞ δ ()n ⎯⎯→Z ∑δ ()n z−n = δ ()0 z−0 = 1 n=−∞
  8. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ví duï 5.1.2: Keá ñoù, töø tính treã ta coù δ ()n −1 ⎯⎯→Z z −1.1 = z −1, δ ()n − 2 ⎯⎯→Z z −2.1 = z −2 , δ ()n − 3 ⎯⎯→Z z −3.1 = z −3, Duøng tính tuyeán tính, chuùng ta coù: Z −1 −2 −3 2δ()n +3δ (n−1 )+5δ(n−2)+2δ(n−3)⎯⎯→2+3z +5z +2z ñoái vôùi (a), vaø h()n = δ ()n −δ (n − 4)()⎯⎯→Z H z = 1− z−4 ñoái vôùi (b).
  9. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ví duï 5.1.3: Duøng u(n)-u(n-1)=δ(n), ñoái vôùi moïi n, vaø tính chaát bieán ñoåi z. Haõy xaùc ñònh bieán ñoåi z cuûa 2 tín hieäu. (a) x(n) = u(n) (b) x(n) = -u(-n-1) Giaûi: Ñoái vôùi (a), chuùng ta coù phöông trình vi phaân x(n) - x(n-1) = u(n) - u(n-1) = δ(n) Laáy bieán ñoåi z hai veá vaø duøng tính treå vaø tính tuyeán tính, ta coù: 1 x()n − x (n − 1 )= δ ()n ⎯⎯→Z X ()z − z−1 X ()z = 1 ⇒ X ()z = 1− z−1
  10. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ví duï 5.1.3: Töông töï: ñoái vôùi (b), chuùng ta coù phöông trình vi phaân x(n)-x(n-1)=-u(-n-1)+u(-(n-1)-1)= u(-n)-u(-n-1)=δ(-n) Phöông trình cuoái cuøng, chuùng ta duøng ñònh nghóa cho tröôùc baèng caùch thay n baèng –n. Chuù yù δ(-n)= δ(n) vaø laáy bieán ñoåi z hai veá, ta coù Z −1 1 x()n − x (n−1 )=δ (−n )⎯⎯→ X ()z − z X ()z =1⇒ X ()z = 1− z−1 Vì theá maëc duø hai tín hieäu u(n) vaø –u(-n-1) laø hoaøn toaøn khaùc nhau trong mieàn thôøi gian (moät nhaân quaû vaø moät phaûn nhaân quaû) nhöng bieán ñoåi z cuûa chuùng gioáng nhau.
  11. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ví duïï 5.1.4: Tính ngoõ ra cuûûa ví duïï 4.1.1 baèèng caùùch thöïc hieänän tính chaäpä nhö laøø pheùùp nhaân trong mieààn z. Giaûi:û Hai chuoãi h={1,2,-1,1}, x={1,1,2,1,2,2,1,1} coùù bieáán ñoååi z: H(z)= 1 + 2z-1 - z-2 + z-3 X(z)= 1 + z-1 + 2z-2 + z-3 + 2z-4 + 2z-5 + z-6 + z-7 Nhaân hai ña thöùc, ta coùù tích Y(z) = X(z)H(z) Y(z)= 1 + 3z-1 + 3z-2 + 5z-3 + 3z-4 + 7z-5 + 4z-6 + 3z-7 + 3z-8 +z-10 Heää soáá luõy thöøa cuûûa z laøø nhnhöõngõng maãumaãu chachaääp ngoõ ra: y=h*x={1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 3, 0, 1}
  12. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ 5.2 Mieàn hoäi tuï Mieàn hoäi tuï ROC cuûa X(z) laø taäp con cuûa maët phaúng phöùc z maø caùc chuoãi (5.1.1) hoäi tuï, nghóa laø n=∞ ⎧ −n ⎫ ROC = ⎨z ∈C X ()z = ∑ x ()n z ≠ ∞⎬ (5.2.1) ⎩ n=−∞ ⎭ Mieàn hoäi tuï laø moät khaùi nieäm quan troïng veà nhieàu phöông dieän: noù cho bieán ñoåi ngöôïc duy nhaát cuûa bieán ñoåi z vaø cho caùc ñaëc tính tieän lôïi cuûa tính chaát nhaân quaû vaø oån ñònh cuûa tín hieäu hay heä thoáng. Mieàn hoäi tuï phuï thuoäc vaøo tín hieäu x(n) caàn bieán ñoåi.
  13. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ví duï, xeùt tín hieäu nhaân quaû sau: x(n)=(0.5)nu(n)={1,0.5,0.52, } Bieán ñoåi z laø ÔÛ ñaây, toång bò giôùi haïn vôùi n ≥ 0 vì x(n) nhaân quaû. Duøng coâng thöùc chuoãi hình hoïc voâ haïn ñeå tính toång voâ haïn: ∞ 1 1+ x + x2 + x3 + = ∑xn = (5.2.2) n=0 1− x Maø hoäi tuï vôùi |x| < 1 vaø ngöôïc laïi thì phaân kyø.
  14. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Cho x = 0.5z-1, ta coù toång ∞ ∞ n 1 X ()z = ∑()0.5z −1 = ∑ xn = hoaëc n=0 n=0 1− x 1 z X ()z = = 1− 0.5z−1 z − 0.5 Ñieàu kieän ñeå hoäi tuï chuoãi hình hoïc laø: x = 0 .5 z − 1 0 .5 Vì theá, mieàn hoäi tuï laø taäp cuûa caùc z trong mieàn z maø naèm ngoaøi voøng troøn baùn kính 0.5. ROC={z∈C||z|>0.5}
  15. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Chuù yù, bieán ñoåi z coù cöïc taïi z=0.5. Toùm laïi, ta coù: 1 ()()0.5 n u n ⎯⎯→Z vôùi z >0.5 1− 0.5z −1 Bieán ñoåi z vaø ROC cuûa noù ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát bôûi tín hieäu thôøi gian x(n). Tuy nhieân cuõng coù theå coù hai tín hieäu coù cuøng bieán ñoåi z nhö ví duï 5.1.3. Caùc tín hieäu nhö theá chæ coù theå phaân bieät trong mieàn z bôûi ROC cuûa chuùng. Ví duï xeùt tín hieäu phaûn nhaân quaû x(n)=-(0.5)nu(-n-1) Bieán ñoåi z seõ laø: −−11−nm ∞ n −n −−11 X ()zz=−∑∑ (0.5 ) =−( ( 0.5 ) z) =− ∑(() 0.5 z) nn=−∞ =−∞ m =1
  16. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ ÔÛ ñaây chuùng ta chuyeån caùc bieán toång töø n thaønh m=-n. Ñeå tính toång chuùng ta duøng: ∞ x x + x2 + x3 + = ∑xm = m=1 1− x Maø hoäi tuï vôùi |x| < 1 vaø ngöôïc laïi thì phaân kyø. Cho x=0.5z-1, ta coù ∞ ∞ −1 m x 0.5 z X z 0.5 −1 z xm ()= −∑() ( ) = −∑ = − = − −1 hoaëc m=1 m=1 1− x 1−0.5 z z 1 X()z = = z − 0.5 1 − 0.5z−1 Maø gioáng nhö ví duï nhaân quaû treân.
  17. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Tuy nhieân, ROC trong tröôøng hôïp naøy thì khaùc. Noù ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän hoäi tuï cuûa chuoãi x = 0.5−1z < 1 ⇒ z < 0.5 laø taäp cuûa caùc z beân trong voøng troøn baùn kính 0.5. ROC = {z ∈ C z < 0.5}
  18. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Toùm laïi, chuùng ta coù bieán ñoåi z: 1 ()()0.5 n u n ⎯⎯→Z , vôùi z > 0.5 1− 0.5z−1 1 − ()(0.5 n u − n − 1 )⎯⎯→Z , vôùi z a 1− az−1 (5.2.3) 1 − anu()− n − 1 ⎯⎯→Z , vôùi z < a 1− az−1
  19. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ ÔÛ ñaây a laø soá phöùc baát kyø. ROC cuûa chuùng nhö sau: Bieán ñoåi z (5.2.3) cuøng vôùi tính tuyeán tính vaø tính treå coù theå xaây döïng nhieàu bieán ñoåi phöùc taïp hôn.
  20. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ví duï 5.2.1: cho a= ±1 trong (5.2.3), chuùng ta coù bieán ñoåi z cuûa tín hieäu böôùc nhaân quaû, phaûn nhaân quaû vaø caùc tín hieäu böôùc khaùc: 1 u()n ⎯⎯→Z , vôùi z > 1 1− z −1 1 − u()− n −1 ⎯⎯→Z , vôùi z 1 1+ z −1 1 − ()(−1 n u − n −1 )⎯⎯→Z , vôùi z < 1 1+ z −1
  21. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ví duï 5.2.2: Xaùc ñònh bieán ñoåi z vaø ROC töông öùng 1. x(n)= u(n-10) 2. x(n)= (-0.8)n u(n) n 3. x(n)= (-0.8)[] u(n)- u(n-10) 1 n 4. x(n)=+−= ⎡⎤ u(n)() 1 u(n) { 1,0,1,0,1,0,1,0, } 2 ⎣⎦ 1 5. x(n)=+⎡⎤ (0.8)nn u(n) (-0.8) u(n) 2 ⎣⎦ ⎛⎞π n 6. x(n)= cos⎜⎟un() =−−− {1, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0, } ⎝⎠2
  22. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ví duï 5.2.2: xaùc ñònh bieán ñoåi z vaø ROC töông öùng ⎛ πn ⎞ 7. x(n) = (0.8) n cos⎜ ⎟u(n) ⎝ 2 ⎠ 1 8. x(n) = [](0.8j) n u(n) + (-0.8j) n u(n) 2 9. x(n) = cos(ω0n)u()n vaø x(n) = sin(ω0n)u ()n 10. x(n) = {1,2,3,1,2,3,1,2,3, }, laëp laïi tuaàn hoaøn {1,2,3}
  23. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Giaûi: (1) Duøng tính chaát treã, chuùng ta coù: z−10 X()z = z−10U ()z = 1− z−1 vôùi ROC |z| > 1. (2) Duøng (5.2.3) vôùi a = -0.8 1 X()z = , vôùi ROC : z > − 0.8 = 0.8 1+ 0.8z−1
  24. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ (3) x(n) = (-0.8)nu(n) - (-0.8)10(-0.8)n -10 u(n-10)) ÔÛ soá haïng thöù hai, chuùng ta nhaân & chia cho heä soá (-0.8)10 ñeå taïo laïi phieân baûn treã 10 ñôn vò cuûa soá haïng thöù nhaát. Vì theá duøng tính treã vaø tuyeán tính vaø keát quaû cuûa tröôøng hôïp −10 10 −10 (2), ta coù: 1 10 z 1− (− 0.8) z X()z = − ()− 0.8 = 1+ 0.8z−1 1+ 0.8z−1 1+ 0.8z−1 Cho a=-0.8, ta coù: x(n)=an[u(n)-u(n-10)]={1,a,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,0,0,0, } Vì theá, bieán ñoåi z coù theå ñöôïc tính bôûi toång höõu haïn: X(z)=1 + az-1 + a2z-2 + + a9z-9
  25. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Söû duïng chuoãi hình hoïc voâ haïn 1− x N 1+ x + x2 + + x N −1 = 1− x Laáy toång caùc chuoãi treân 10 −10 10 −10 −1 2 −2 9 −9 1−a z 1−(−0.8) z X()z =1+az +a z + +a z = = 1−az−1 1+0.8z−1 (4) Söû duïng tính tuyeán tính vaø (5.2.3) vôùi a=1 vaø a=-1: 1 ⎡ 1 1 ⎤ 1 X ()z = + = 2 ⎣⎢1− z −1 1+ z −1 ⎦⎥ 1− z −2 vôùi ROC |z| > 1.
  26. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Coù theå ñaït ñöôïc cuøng keát quaû khi duøng (5.1.1) vaø toång caùc chuoãi: X(z) = 1+ 0z-1+ z-2+ 0z-3 +z-4+ = 1+ z-2+z-4+ z-6+ laø moät chuoãi hình hoïc voâ haïn coù daïng nhö (5.2.2) vôùi x=z-2. Vì theá 1 1 X()z = = −2 1− x x =z −2 1− z Ñeå chuoãi hoäi tuï thì ⏐x⏐=⏐z2⏐ 1. (5) Söû duïng tính tuyeán tính vaø (5.2.3): 1 ⎡ 1 1 ⎤ 1 X()z = + = 2 ⎣⎢1− 0.8z−1 1+ 0.8z−1 ⎦⎥ 1− 0.64z−2 vôùi ROC ⏐z⏐>0.8.
  27. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ (6) Coù theå tìm tröïc tieáp baèng ñònh nghóa (5.1.1): X(z)=1 - z-2+z-4-z-6+z-8+ =1+x+x2+x3+x4+ 1 1 Vôùi x=-z-2. Chuoãi naøy seõ hoäi tuï thaønh:X()z = = 1− x 1+ z−2 vôùi ⏐x⏐=⏐z-2⏐ 1. Söû duïng coâng thöùc Euler ñeå taùch haøm cos thaønh caùc tín hieäu luõy thöøa daïng (5.2.3): ⎛ πn ⎞ 1 jπn / 2 − jπn / 2 1 n *n x(n) = cos⎜ ⎟u()n = [e u(n) + e u(n)]= [a u(n) + a u(n)] ⎝ 2 ⎠ 2 2 trong ñoù a=ejπ/2=j vaø a*=e-jπ/2=-j. Do ñoù: 1 ⎡ 1 1 ⎤ 1 X()z = ⎢ −1 + −1 ⎥ = −2 2 ⎣1− jz 1+ jz ⎦ 1+ z
  28. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ (7) Duøng coâng thöùc Euler nhö treân, ta coù: n ⎛ πn ⎞ 1 n jπn / 2 n − jπn / 2 x(n) = ()0.8 cos⎜ ⎟u()n = [()0.8 e u(n) + ()0.8 e u(n)] ⎝ 2 ⎠ 2 maø coù theå vieát nhö tín hieäu tröôøng hôïp (8): 1 n n x(n) = [()0.8j u(n) + (− 0.8j )u(n)] 2 Vì theá, (7) vaø (8) laø gioáng nhau. Söû duïng a=±0.8j ôû (5.2.3) ta tìm ñöôïc bieán ñoåi z cuûa chuùng: 1 ⎡ 1 1 ⎤ 1 X()z = ⎢ −1 + −1 ⎥ = −2 2 ⎣1− 0.8jz 1+ 0.8jz ⎦ 1+ 0.64z vôùi ROC ⏐z⏐>⏐0.8j⏐=0.8.
  29. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ (9) Bieán ñoåi töông töï, ta coù: 1 jω0n − jω0n Z 1 ⎡ 1 1 ⎤ cos()()ω0n u n = [e + e ]u(n) ⎯⎯→ + 2 2 ⎣⎢1− e jω0 z−1 1− e− jω0 z−1 ⎦⎥ −1 Ruùt goïn laïi: 1− cos(ω0 )z X()z = −1 −2 1− 2cos(ω0 )z + z Thay ω0=π/2, chuùng ta coù töông töï tröôøng hôïp (6). Töông töï, ñoái vôùi daïng sin 1 jω0 n − jω0 n Z 1 ⎡ 1 1 ⎤ sin()()ω0n u n = [e − e ]u(n) ⎯⎯→ − 2 2 j ⎣⎢1 − e jω0 z −1 1 − e− jω0 z −1 ⎦⎥ Ruùt goïn laïi: −1 1− sin(ω0 )z X()z = −1 −2 1− 2cos(ω0 )z + z
  30. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ (10) Duøng ñònh nghóa (5.1.1) vaø nhoùm caùc soá haïng, ta coù: X ()z = (1+ 2z −1 + 3z −2 )+ (1+ 2z −1 + 3z −2 )z −3 + (1+ 2z −1 + 3z −2 )z −6 + 1+ 2z −1 + 3z −2 = ()()1+ 2z −1 + 3z −2 1+ z −3 + z −6 + z −9 + = 1- z −3 Chuoãi hoäi tuï khi ⏐z-3⏐ 1. Moät caùch khaùc laø laøm treã x(n) 3 ñôn vò thôøi gian x(n-3) = {0,0,0,1,2,3,1,2,3, } vaø tính x(n)-x(n-3)={1,2,3,0,0,0,0,0 }=δ(n)+ 2δ(n-1)+3δ(n-2) Keá ñoù, laáy bieán ñoåi z hai veá, ta coù: 1+ 2z−1 + 3z−2 X()z − z−3X ()z =1+ 2z−1 + 3z−2 ⇒ X ()z = 1- z−3 Phöông phaùp naøy coù theå ñöôïc toång quaùt hoùa cho chuoãi tuaàn hoaøn baát kyø.
  31. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ 5.35.3 NhaânNhaân quaquaûû vavaøø ssöïöï ooånån ññònhònh Keátá quaûû cô baûûn (5.2.3) coùù theåå suy ra tính nhaân quaûû vaøø oåån ññònh ôûû mieànà z. Tính hieääu nhaân quaûû daïïng n n x()n = A1 p1 u(n)+ A2 p2 u(n)+ (5.3.1) seõ coùù bieáná ñoåiå z A A X z = 1 + 2 + () −1 −1 (5.3.2) 1− p1z 1− p2 z vôùùi raøngø buoääc z > p 1 , z > p 2 , Vì vaääy, ROC chung cuûûa taáát caûû caùcù soáá haïngï seõ laøø: z > max p i i (5.3.3) nghóa laøø beân ngoaøøi voøøng troøøn xaùùc ñònh bôûûi cöïc coùù bieân ñoää lôùùn nhaáát.
  32. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Töông töï neááu tín hieääu laøø hoaøøn toaøøn phaûûn nhaân quaûû n n x()n = −A1 p1 u(− n − 1)()− A2 p2 u − n − 1 − (5.3.4) Bieáná ñoåiå z cuûûa noùù gioááng nhö (5.2.3) nhöng raøøng buoääc ROC seõ laøø z < p1 , z < p2 , Vì theáá, ROC trong tröôøøng hôïïp naøøy laø:ø z < min pi (5.3.3) i (5.3.3) nghóa laø,ø beân ngoaøøi voøøng troøøn xaùùc ñònh bôûûi cöïc coùù bieân ñoää nhoûû nhaát.á ROC cuûûa hai tröôøøng hôïïp naøøy bieååu dieãn ôûû hình 5.3.1.
  33. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Toùm laïi, tín hieäu nhaân quaû coù ROC naèm ngoøai voøng troøn cöïc lôùn nhaát vaø tín hieäu phaûn nhaân quaû coù ROC naèm trong voøng troøn cöïc nhoû nhaát. Neáu tín hieäu laø toå hôïp nhaân quaû vaø phaûn nhaân quaû seõ coù ROC laø mieàn giöõa hai voøng troøn vôùi caùc cöïc naèm trong voøng troøn noäi coù phaân boá nhaân quaû vaø caùc cöïc naèm ngoøai voøng troøn ngoïai coù phaân boá phaûn nhaân quaû. Söïoån ñònh coùtheåñöôïc dieån taûtrong mieàn z theo caùc soá haïng coù löïa choïn cuûa ROC. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå tín hieäu x(n) oån ñònh laø ROC cuûa bieán ñoåi z töông öùng chöùa voøng troøn ñôn vò. Ñoái vôùi heä thoáng h(n), ñieàu kieän naøy töông ñöông vôùi ñieàu kieän (3.5.4) ñöôïc trình baøy ôû chöông 3.
  34. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Söï oåån ñònh thì khoâng caààn phaûûi ñi keømø vôùiù tính nhaân quaû.û Ñoáái vôùùi moäät tín hieääu hay heää thoááng oåån ñònh vaøø nhaân quaû,û ñieàuà caààn thieáát laøø taáát caûû caùùc cöïc cuûûa noùù naèèm trong voøngø troønø ñôn vò ôûû mieààn z. Ñieààu naøøy suy ra töø (5.3.3) laøø ñieààu kieänä hoäiä tuïï cuûaû tín hieääu nhaân quaûû. Neááu ROC naøøy töông öùng vôùiù tín hieäuä oånå ñònh thì noùù phaûûi chöùa voøøng troøøn ñôn vò. Maëtë khaùc,ù chuùngù ta cho ⏐z ⏐=1 trong (5.3.3): I > max ⏐pi ⏐, nghóa laøø taátá caûû caùcù cöïc phaûûi coùù bieân ñoää nhoûû hôn 1. Moäät tín hieäuä hay heää thoángá cuõng coùù theåå oåån ñònh vaøø phaûûn nhaân quaûû nhöng trong tröôøngø hôïïp naøøy caùùc cöïc phaûûi naèèm ngoøøai voøøng troøøn ñôn vò. Thaätä ra, ñieààu kieään phaûûn nhaân quaûû ôûû (5.3.5) vôùùi ñieàuà kieänä oånå ñònh maøø ROC chöùa caùùc ñieååm ⏐z ⏐=1, ngaààm hieååu I < min⏐pi ⏐, nghóa laøø taáát caûû caùùc cöïc phaûûi coùù bieân ñoää nhoûû hôn 1.
  35. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Neáuá moätä soáá cöïc coùù bieân ñoää nhoûû hôn 1 vaøø moäät soáá lôùùn hôn 1 thì tín hieäuä coùù theåå oåån ñònh nhöng seõ laøø loïïai toåå hôïïp. Nhöõngõng ccöïc maøø naèèm trong voøøng troøøn ñôn vò seõ coùù phaân boáá nhaânnhaân quaûû vaøø naèèm ngoaøøi voøøng troøøn ñôn vò seõ coùù phaân boáá phaûnû nhaân quaûû. Hình 5.3.2 minh hoïïa 3 tröôøøng hôïïp oåån ñònh coùù theåå. Trong taáát caûû tröôøngø hôïïp, bieáán ñoååi z coùù cuøøng daïïng A1 A2 A3 A4 X ()z = −1 + −1 + −1 + −1 1− p1z 1− p2 z 1− p3z 1− p4 z
  36. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Hình 5.3.2 ROC oån ñònh
  37. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Trong tröôøng hôïp oån ñònh vaø nhaân quaû, taát caû cöïc phaûi coùbieân ñoänhoûhôn 1, nghóa laø⏐pi ⏐ 1 , i=1, 2, 3, 4 vaø x(n) seõ laø n n n n x()n = −[A1 p1 + A2 p2 + A3 p3 + A4 p4 ]u( −n − 1) trong ñoù, n 1 neân ⏐1/pi ⏐< 1 vaø caùc luõy thöøa lieân tieáp cuûa noù seõ tieán veà 0.
  38. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Trong tröôøng hôïp toå hôïp, chuùng ta coù ⏐p1⏐ ⏐p4⏐> 1. Do ñoù, tín hieäu oån ñònh seõ laø n n n n x()n = [A1 p1 + A2 p2 ]u( n ) − [A3 p3 + A4 p4 ]u(− n − 1) vôùi p1, p2 phaân boá nhaân quaû vaø p3, p4 phaân boá phaûn nhaân quaû. Ví duï veà moät tín hieäu oån ñònh nhöng khoâng phaûi laø toå hôïp chính laø tröôøng hôïp (2) trong ví duï 5.2.3 x(n)=(0.8)nu(n)- (1.25)nu(-n-1) Nhö ñöôïc nhaán maïnh trong chöông 3, tính oån ñònh quan troïng hôn tính nhaân quaû ñeå traùnh vieäc tính toaùn khoâng hoäi tuï. Tính nhaân quaû coù theå ñöôïc hoøa hôïp moät caùch chính xaùc neáu taát caû caùc cöïc naèm trong voøng troøn ñôn vò nhöng chæ saép xæ neáu moät soá cöïc naèm ngoaøi. Chuùng toâi seõ trình baøy ñieàu naøy sau.
  39. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Moät lôùp tín hieäu quan troïng laø caùc tín hieäu oån ñònh bieân maø khoâng hoäi tuï cuõng khoâng phaân kyø veà 0 khi nhaân quaû lôùn. Dó nhieân chuùng bò bao. Caùc tín hieäu böôùc ñôn vò, böôùc ñôn vò thay ñoåi vaø sin toång quaùt hôn thuoäc lôùp naøy. Caùc tín hieäu nhö theá coù cöïc nhöng treân voøng troøn ñôn vò. Moät soá ví duï laø tröôøng hôïp (1, 4, 6, 9, 10) cuûa ví duï 5.2.2. Moät ví duï ñôn giaûn hôn laø tröôøng hôïp cuûa tín hieäu sin phöùc taàn soá ω0 (nhaân quaû) x(n)=ejωonu(n) (phaûn nhaân quaû) x(n)= -ejω0nu(-n-1) jω maø laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa (5.2.3) vôùi a = e 0 .
  40. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Chuù yù laø böôùc ñôn vò phaúng u(n) vaø böôùc ñôn vò thay ñoåi n (-1) u(n) cuõng laø caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät vôùi ω0 = 0 vaø ω0 = π. Bieán ñoåi z töông öùng suy ra töø (5.2.3): 1 X ()z = 1− e jω0 z−1 vôùi ROC laø ⏐z⏐ > 1 ñoái vôùi tín hieäu nhaân quaû hoaëc ⏐z⏐ < 1 ñoái vôùi tín hieäu phaûn nhaân quaû.
  41. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ
  42. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ 5.4 Phoå taàn soá Phoå taàn soá hay bieán ñoåi Fourier thôøi gian rôøi raïc (DTFT) cuûa tín hieäu x(n) ñöôïc ñònh nghóa laø: n = ∞ X ()ω = ∑ x ()n e − j ω n (DTFT) (5.4.1) n = −∞ Ñaây chính laø bieán ñoåi z treân voøng troøn ñôn vò, nghóa laø caùc ñieåm z:z = e jω0 (5.4.2) n=∞ n=∞ −n − jω Thaät vaäy, ta coù: X()z z=e jω = ∑x()n z = ∑x ()n e = X ()ω n=−∞ n=−∞ Ñaùp öùng taàn soá H(ω) cuûa heä thoáng h(n) vôùi haøm truyeàn H(z) ñöôïc ñònh nghóa: n=∞ H()ω = ∑h ()n e− jωn (Ñaùùp öùng taààn soáá) (5.4.3) n=−∞ Noùù cuõng ñöôïïc suy ra töø bieáán ñoååi z treân voøngø troønø ñôn vò:
  43. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ H()ω = H(z) z=e jω Nhö ñaõ trình baøy trong chöông 1, taàn soá soá (rad/ sample) coùquan heävôùi taàn soáf(Hz) nhösau: 2πf ω = (Taàn soá soá) (5.4.4) fs Khoaûng Nyquist [-fs/2, fs/2] laø khoaûng tính theo ñôn vò ω: -π < ω < π (khoaûng Nyquist) (5.4.5) Trong chöông 1, ñaïi löôïng X(ω) ñöôïc bieåu dieãn bôûi: ^ ∞ X()f = ∑x (nT )e2πjfn / fs n=−∞ Ñaây laø phoå taàn Fourier cuûa tín hieäu x(nT) vaø ñöôïc tính baèng caùch laëp laïi tuaàn hoøan phoå taàn tín hieäu töông töï goác taïi boäi soá fs.
  44. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Theo ñôn vò ω, söï tuaàn hoaøn cuûa f vôùi chu kyø fs trôû thaønh söï tuaàn hoaøn cuûa ω vôùi chu kyø 2π. Vì vaäy, X(ω) chæ xeùt trong moät chu kyø, ví duï nhö khoaûng Nyquist (5.4.5). DTFT ngöôïc khoâi phuïc chuoãi thôøi gian x(n) töø phoå cuûa noù X(ω) qua khoaûng Nyquist: 1 π x()n = ∫ X()ω e jωndω (DTFT ngöôïc) (5.4.6) 2π −π x(n) ñöôïcï bieååu dieãn laøø toåå hôïïp tuyeáán tính cuûûa caùùc sin ejωn rôøøi raïcï thôøiø gian coùù nhöõngõng tataààn soáá khaùùc nhau. Bieân ñoää vaøø pha cuûaû caùcù thaøønh phaààn sin naøøy ñöôïïc cho bôûûi DTFT X(ω). (5.4.6) coùù theåå ñöôïïc chöùng minh nhanh baèèng caùùch xem (5.4.1) laøø khai trieåån chuoãi Fourier cuûûa haøøm tuaààn hoaøøn X(ω). Keáá ñoù,ù (5.4.6) seõ cho caùùc heää soáá khai trieåån chuoãi Fourier. DTFT ngöôïïc tính theo caùùc soáá haïngï taààn soáá f(Hz):
  45. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ f 1 S x()n = X()f e2πjfn / fS df f ∫ S −fS Ví duï: tín hieäu sin phöùc taàn soá ω0: x(n) = e jω0n , - ∞ < n < ∞ seõ coùù DTFT laøø: X(ω) = 2πd(ω - ω0) + (laëëp laïïi Nyquist) trong ñoù,ù soáá haïïng “laëëp laïïi Nyquist” chính laøø söï laëëp laïïi tuaààn hoaønø cuûaû soáá haïngï thöù nhaáát ôûû caùùc khoaûûng 2π. Ñieààu naøøy laøø caànà thieáát ñeåå X(ω) tuaààn hoaøøn chu kyøø 2π. Chính xaùùc hôn, bieåuå thöùc ñaàày ñuûû laøø: ∞ X()ω = 2π ∑δ (ω− ω0 − 2πm ) m=−∞
  46. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ñeå chöùng minh, chuùng ta cheøn noù vaøo DTFT ngöôïc vaø khoâi phuïc tín hieäu sin cho tröôùc. Ñieàu naøy ñaõ ñöôïc trình baøy ôû chöông 1 (ví duï 1.5.1). Giaû söû ω0 naèm trong khoaûng Nyquist [-π, π] thì giôùi haïn cuûa X(ω) seõ ñöôïc xaùc ñònh bôûi soá haïng mieàn z = 0, nghóa laø: X(ω) = 2πd(ω - ω ), -π < ω < π X(ω) = 2πd(ωπ - ω0), -π < ωπ < π 1 jωn 1 jωn jω0n Do ñoù,ù (5.4.6) cho x()n = ∫X()ω e dω= ∫2πδ()ω−ω0 e dω=e 2π −π 2π −π Töông töï, toåå hôïïp tuyeáán tính cuûûa hai tín hieääu sin, ta coùù: jω1n jω2n x()n = A1e + A2e → X(ω) = 2πA1δ(ω− ω1 )+ 2πA2δ(ω− ω2 ) Ñieàuà naøyø coùù theåå ñöôïïc chöùng minh töông töï, neááu chuùùng ta giaûû söû caûû ω1 vaøø ω2 cuøøng naèèm trong khoaûûng Nyquist. Cuïï theåå, ñoáiá tín hieääu sin vaøø cos thöïc, ta coùù:
  47. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ cos(ω0n) ô πd(ω – ω0) + πd(ω + ω0) sin(ω0n) ô –jπd(ω – ω0) + jπd(ω + ω0) Moät quan heä höõu ích khaùc laø ñaúng thöùc Parseval (quan heä giöõa naêng löôïng cuûa moät chuoãi vôùi phoå cuûa noù): ∞ 2 1 π 2 x()n = X()ω dω ∑ ∫−π (Parseval) (5.4.7) n=−∞ 2π DTFT coù theå bieåu dieãn hình hoïc baèng caùch nhaän ra raèng nhöõng ñieåm z = ejω naèm treân voøng troøn ñôn vò trong mieàn z. Khi ω thay ñoåi qua khoaûng Nyquist [-π, π] thì ñieåm z = ejω di chuyeån xung quanh voøng troøn ñôn vò nhö hình 5.4.1. Goác pha cuûa z laø ω.
  48. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Hình 5.4.1 Döï ñoaùn bieán ñoåi z treân voøng troøn ñôn vò. Ñeå phoå X(ω) toàn taïi, ROC cuûa X(z) phaûi chöùa voøng troøn ñôn vò, ngöôïc laïi bieán ñoåi z seõ phaân kyø taïi nhöõng ñieåm treân voøng troøn ñôn vò z = ejω. Nhöng neáu ROC chöùa voøng troøn ñôn vò thì tín hieäu x(n) phaûi oån ñònh. Do ñoù, bieán ñoåi Fourier X(ω) chæ toàn taïi ñoái vôùi caùc tín hieäu oån ñònh.
  49. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Nhöõng tín hieäu oån ñònh bieân chaúng haïn sin, noùi moät caùch chính xaùc seõ khoâng coù phoå nhöng caùc cöïc naèm treân voøng troøn ñôn vò vaø vì theá tính X(z) treân voøng troøn ñôn vò seõ laøm X(z) phaân kyø ôû nhöõng ñieåm z naøo ñoù. Tuy nhieân, ñieàu naøy laïi höõu ích khi xeùt phoå cuûa chuùng. Ví duï, ñoái vôùi tín hieäu sin phöùc cuûa caùc phaàn tröôùc, chuùng ta coù: 1 x()n = e jω0nu ()n ⎯⎯→Z X ()z = 1− e jω0 z−1 vaøø do ñoù,ù thay theáá z = ejω cho 1 1 X()ω = = 1− e jω0 e− jω 1− e j()ω0 −ω maøø phaân kyøø taïïi ω = ω0. Tuy nhieân, ñaây laøø ñieààu mong muoáná bôûûi vì neááu tín hieääu laøø thuaààn sin x(n) = e j ω 0 n thì phoåå cuûûa noùù seõ laøø moäät ñöôøøng taäpäp taïïi ω = ω0, nghóa laøø X(ω) = 2πd(ω - ω0) (vôùùi laëëp laïïi Nyquist). Tuy nhieân, tín hieääu khoâng phaûiû thuaànà sin maøø laøø nhaân quaûû, moäät phieân baûûn trieäät tieâu cuûûa thuaànà sin vaøø vì theáá caùùc taààn soáá haøøi seõ hieään dieään. Tuy nhieân,nhieân, taànà soáá chính vaãn laøø ω0.
  50. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Daïng cöïc/zero cuûa bieán ñoåi z X(z) hay H(z), nghóa laø vò trí hình hoïc töông ñoái cuûa caùc cöïc vaø zero trong maët phaúng z, seõ aûnh höôûng ñeán daïng phoå cuûa X(ω) hay H(ω). Ñeå hieåu roû vaán ñeà naøy, xeùt moät bieán ñoåi z ñôn giaûn coù moät cöïc z = p1 vaø moät zero z = z1. −1 1 − z1z z − z1 X ()z = −1 = 1 − p1z z − p1 Phoåå töông öùng vaøø bieään ñoää cuûûa noùù tìm ñöôïïc baèèng caùùch jω thay z bôûiû e . jω jω e − z e − z1 X ω = 1 ⇒ X ω = () jω () jω e − p1 e − p1 Hình 5.4.2 cho thaááy vò trí töông ñoáái cuûûa caùùc ñieååm coáá jω ñònh z1, p1 vaøø caùùc ñieååm di ñoääng z = e . Ñoàà thò ⏐X(ω)⏐ döïa treân daïngï cöïc/zero cuõng ñöôïïc bieååu dieãn.
  51. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ PhoPhoåå bieân ñoää ⏐X(ω)⏐laøø tæ soáá giöõaõa khoakhoaûûng caùùch töø ejω ñeáná jω cöïc p1 vaøø khoaûûng caùùch töø e ñeáán cöïc z1. Khi ejω di chuyeåån treân voøøng troøøn ñôn vò, caùùc khoaûûng caùùch naøyø seõ thay ñoååi. Khi ejω gaààn qua ñieååm cöïc, khoaûûng caùùch maãu soáá seõ nhoûû laøøm cho ⏐X(ω)⏐ taêng. Neááu ω1 laøø goùùc pha cuûaû cöïc p1 thì ñieååm gaààn nhaáát tieáán ñeáán p1 seõ xaûûy ra taïïi ω = ω1 taïoï moätä ñænh cuûûa ⏐X(ω)⏐ taïïi ñoùù. Cöïc caøøng gaààn vôùùi voøøng troønø ñôn vò, khoaûûng caùùch maãu soáá caøøng nhoûû taïïi ω = ω1, vaøø ñænh cuûaû ⏐X(ω)⏐ caøngø nhoïïn. Töông töï, khi ejω gaààn qua ñieååm zero, khoaûûng caùùch töû soáá seõ nhoûû laømø cho ⏐X(ω)⏐ giaûûm. Taïïi goùùc pha cuûûa zero, ω = f1 , khoaûngû caùchù naøøy seõ nhoûû nhaáát vaøø gaây ra moäät ñieååm truûûng cuûûa ⏐X(ω)⏐ taïiï ñoùù.
  52. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Zero caøng gaàn vôùi voøng troøn ñôn vò, ñieåm truûng caøng nhoïn. Zero z1 coù theå naèm treân voøng troøn ñôn vò, trong tröôøng hôïp ñoù ⏐X(ω)⏐ seõ trieät tieâu taïi ω = f1. Hình 5.4.2 Bieåu dieån hình hoïc cuûa phoå taàn soá.
  53. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Toùm laïi, chuùng ta coù theå veõ phoå cuûa ⏐X(ω)⏐ baèng caùch cho ejω laàn theo voøng troøn ñôn vò vaø veõ caùc ñænh khi ejω gaàn qua caùc cöïc, vaø ñieåm truûng khi noù gaàn qua zero. Töø vò trí hôïp lyù cuûa caùc cöïc vaø zero cuûa X(z), ngöôøi ta coù theå thieát keá baát kyø daïng mong muoán naøo cuûa X(ω) hay H(ω). Ñeå thuaän tieän, chuùng ta chia voøng troøn ñôn vò thaønh caùc vuøng taàn soá thaáp, trung bình, cao nhö hình 5.4.3. Vieäc phaân chia naøy laø tuøy yù vì taàn soá naøo laø cao hay thaáp coøn tuøy thuoäc vaøo öùng duïng. Tuy nhieân, vieäc naøy nhaèm thay theá caùc cöïc vaø zero. Ví duï, ñeå thieát keá boä loïc thoâng thaáp maø laøm noåi baät taàn soá thaáp vaø suy hao taàn soá cao, ngöôøi ta seõ ñaët caùc cöïc beân trong voøng troøn vaøo moät vò trí naøo ñoù trong cung taàn soá thaáp vaø/hoaëc zero trong cung taàn soá cao.
  54. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Hình 5.4.3 Caùc phaàn taàn soá thaáp, trung bình, cao cuûa voøng troøn ñôn vò .
  55. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Caùc phöông phaùp thieát keá boä loïc nhö theá thì hôi thoâ thieån vaøtrong thöïc teáchæñöôïc söûduïng ñeåthieát keácaùc boä loïc ñôn giaûn hoaëc ñaëc bieät, chaúng haïn boä loïc coäng höôûng hoaëc caùc phaàn cuûa boä loïc truøng phöông cho caùc boä caân baèng tham soá vaø ñoà hoïa aâm thanh soá. Nhöõng ví duï thieát keá nhö vaäy seõ ñöôïc xeùt sau. DTFT X(ω) cuûa tín hieäu x(n) laø moät ñaïi löôïng phöùc vaø vì theá, noù ñöôïc bieåu dieån bôûi phaàn thöïc vaø phaàn aûo Re(ω), Im(ω) hoaëc ôû daïng cöïc bôûi ñaùp öùng pha vaø bieân ñoä |X(ω)|, argX(ω). Do ñoù: X(ω) = Re{X(ω)} + jIm{X(ω)} = |X(ω)|ejarg{X(ω)} Ñoái vôùi tín hieäu thöïc x(n), ñaïi löôïng X(ω) thoûa maõn tính chaát hermitan sau: X(ω)* = X(–ω) (5.4.8)
  56. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Töø ñoù, ta coù caùc moái quan heä sau: |X(ω)| = |X(– ω )| (5.4.9) arg{X(ω)} = –arg{X(– ω)} nghóa laø, ñaùp öùng bieân ñoä laø chaün theo ω vaø ñaùp öùng pha laø leû. Ñònh nghóa töông töï vaø aùp duïng caùc keát quaû cho ñaùp öùng taàn soá H(ω) cuûa heä thoáng thöïc h(n). Cuoái cuøng chuùng ta chuù yù raèng tính chaát Y(z) = H(z).X(z) ñöôïc tính treân voøng troøn ñôn vò seõ coù daïng trong mieàn taàn soá laø: Y(ω) = H(ω).X(ω) (loïc trong mieàn taàn soá) (5.4.10)
  57. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ 5.5 Bieán ñoåi z ngöôïc Baøi toaùn nghòch cuûa moät bieán ñoåi z cho tröôùc X(z) laø tìm tín hieäu thôøi gian x(n) maø bieán ñoåi z laø X(z). Nhö chuùng ta ñaõ bieát, ñaùp soá cho x(n) laø khoâng nhaát thieát phaûi duy nhaát. Tuy nhieân coù theå laø duy nhaát neáu xaùc ñònh ROC töông öùng. Trong bieán ñoåi z ngöôïc, chuùng ta khai trieån X(z) thaønh töøng phaân soá nghóa laø, thaønh toång cuûa caùc soá haïng cöïc rieâng reõ coù daïng (5.3.2). Moät khi X(z) ñöôïc vieát döôùi daïng (5.3.2), chuùng ta caàn bieát baèng caùch naøo ñeå ñaûo moãi soá haïng naøy, nghóa laø nhaân quaû hay phaûn nhaân quaû. Ñieàu naøy phuï thuoäc vaøo vieäc löïa choïn ROC.
  58. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Toång quaùt, caùc voøng troøn qua cöïc taïi z = p1, z = p2, , chia maët phaúng z thaønh nhöõng mieàn khoâng choàng cheùo maø laø caùc öùng vieân coù theå cho ROCs. Moät trong caùc mieàn ROC naøy seõ taïo ra x(n) khaùc nhau. Trong soá taát caû x(n) coù khaû naêng, chæ coù duy nhaát moät x(n) laø oån ñònh bôûi vì voøng troøn ñôn vò naèm chính xaùc ôû moät trong caùc ROC coù theå. Ví duï 5.5.1: Trong ví duï (5.2.3), ba tín hieäu ñaàu tieân coù chung bieán ñoåi z: 1 1 X ()z = + 1 − 0.8z −1 1 − 1.25z −1 Hai voøng troøn qua caùc cöïc taïi z = 0.8 vaø z = 1.25 seõ chia maët phaúng z thaønh 3 vuøng I, II, III, ñöôïc bieåu dieãn trong ví duï 5.2.3.
  59. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Do ñoù, coù 3 bieán ñoåi z ngöôïc coù theå nghóa laø ba tín hieäu x(n) töông öùng vôùi ba löïa choïn ROC. Nhöng chæ II laø oån ñònh. Phöông phaùp khai trieån phaân soá töøng phaàn PF coù theå aùp duïng cho bieán ñoåi z maø tæ soá cuûa hai ña thöùc theo z-1 coù daïng: N(z) X ()z = D()z Caùc cöïc cuûa ña thöùc maãu D(z) laø caùc cöïc cuûa X(z). Giaû söû D(z) coù baäc M, nghóa laø coù M zero maãu soá laø p1, p2, , pM, vaøD(z) coùtheågiaûsöûcoùdaïng: -1 -1 -1 D(z) =(1 – p1z ) (1 –p2z ) (1 – pMz ) Khai trieån phaân soá töøng phaàn X(z) :
  60. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ N(z) N(z) X ()z = = -1 -1 -1 D()z (1 - p1z ) (1 - p2 z ) (1 - pM z ) (5.5.1) A1 A2 AM = -1 + -1 + + -1 1 - p1z 1 - p2 z 1 - pM z Ñeåå coùù theåå khai trieåån daïngïng z-1 thì baääc ña thöùc töû soáá N(z) phaûiû nhoûû hôn baääc M ña thöùc maãu soáá. Heää soáá khai trieåån Ai coùù theåå tính theo coâng thöùc: ⎡ ⎤ ⎢ N()z ⎥ A = 1 − p z −1 X ()z = (5.5.2) i []()i z= p1 ⎢ −1 ⎥ ⎢∏()1 − p j z ⎥ j≠i ⎣ ⎦ z= p1 -1 vôùiù I = 1, 2, , M. Maëët khaùùc, thöøa soáá (1 – pIz ) bò boûû khoûiû maãu soáá vaøø bieååu thöùc coøøn ñöôïïc tính taïïi cöïc z = pi. Ví duïï 5.5.2: Trong ví duïï 5.2.3 bieáán ñoååi z ñöôïïc vieáát döôùùi daïïng:
  61. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ 2 − 2.05z−1 2 − 2.05z−1 X()z = −1 −2 = −1 −1 1− 2.05z + z ()()1−0.8z 1−1.25z Bôûi vì ña thöùc töû soá coù baäc 1 theo bieán z-1, khai trieån PF coù daïng: 2 − 2.05z −1 A A X ()z = = 1 + 2 1 − 2.05z −1 + z −2 1 − 0.8z −1 1 − 1.25z −1 Hai heä soá ñaït ñöôïc nhôø (5.5.2): −1 −1 ⎡2 − 2.05z ⎤ 2 − 2.05 / 0.8 A1 = []()1 − 0.8z X ()z z=0.8 = ⎢ ⎥ = = 1 −1 1 − 1.25 / 0.8 ⎣ 1 − 1.25z ⎦ z=0.8 −1 −1 ⎡2 − 2.05z ⎤ A2 = []()1 − 1.25z X ()z z=1.25 = ⎢ −1 ⎥ = 1 ⎣ 1 − 0.8z ⎦ z=1.25 Neáu baäc cuûa ña thöùc töû soá N(z) chính xaùc baèng vôùi baäc M cuûa maãu soá D(z) thì khai trieån (5.5.1) phaûi hieäu chænh baèng caùch theâm soá haïng phuï daïng:
  62. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ N()z N(z) X()z = = D()z (1 - p z-1 ) (1 - p z-1 ) (1 - p z-1 ) 1 2 M (5.5.3) A1 A 2 A M = A 0 + -1 + -1 + + -1 1 - p1z 1 - p2z 1 - p M z Caùc heä soá Ai, i = 1, 2, , M ñöôïc tính töông töï bôûi (5.5.2). heä soá phuï A0 chính laø bieán ñoåi z taïi z = 0, nghóa laø: A X z 0 = ( ) z=0 (5.5.4) Neáuá baäcä cuûaû N(z) lôùùn hôn M thì ngöôøøi ta coùù theåå chia ña thöùc D(z) cho N(z), tìm soáá thöông vaøø ña thöùc dö, ñeåå maøø N(z) = Q(z)D(z) + R(z) vaøø keáá ñoùù vieátá N(z) Q(z)D(z)()+R z R(z) X()z = = =Q()z + D()z D()z D()z
  63. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Baây giôø, soá haïng thöù hai seõ thoûa maûn khai trieån PF thoâng thöôøng daïng (5.5.1) bôûi vì baäc cuûa ña thöùc dö R(z) nhoû hôn M. Moät caùch khaùc, ngöôøi ta coù theå khöû hoaøn toaøn ña thöùc töûsoáN(z), keáñoùtính khai trieån PF thoâng thöôøng cuûa ñaïi löôïng 1 W ()z = D()z vaø cuoái cuøng khoâi phuïc töû soá baèng caùch vieát: X(z) = N(z)W(z) Chuùng ta coù theå xem phöông phaùp naøy nhö phöông phaùp “khöû/phuïc hoài”. Moät soá ví duï seõ minh hoïa phöông phaùp naøy.
  64. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ví duï 5.5.3: Chuùng ta nhaán maïnh raèng khai trieån PF coù theå toàn taïi treân moät bieán ñoäc laäp, z-1 nhöng khoâng treân bieán khaùc, z. Ví duï bieán ñoåi z: 2 − 2.05z−1 z(2z − 2.05) X()z = = (1 − 0.8z−1 )(1 −1.25z−1 ) ()()z − 0.8 z −1.25 coùù töû soáá baäcä 1 töông öùng vôùùi bieáán z-1 nhöng baääc 2 öùng vôùùi z. Vì theá,á noùù thoûûa maûûn khai trieåån daïïng (5.5.1) töông öùng vôùiù z-1 nhöng khoâng vôùùi z. Nhieàuà saùchù thích söû duïïng z hôn vaøø do ñoùù ñeåå coùù theåå khai trieånå PF, heää soáá z ñöôïïc chia ñeåå laøøm giaûûm baääc cuûûa töû soáá vaøø keáá ññoùù khoâi phuïïc khi keáá thuùùc, nghóa laøø X()z z(2z − 2.05) A A = = 1 + 2 z ()()z − 0.8 z −1.25 z − 0.8 z −1.25
  65. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Khi z ñöôïc khoâi phuïc, ta coù: zA zA A A X()z = 1 + 2 = 1 + 2 z −0.8 z −1.25 1−0.8z−1 1−1.25z−1 Deã daøng chöùng minh raèng caùc heä soá khai trieån PF seõ gioáng nhau theo 2 caùch. Trong saùch naøy, chuùng toâi thích z-1 hôn vaø traùnh caùc böôùc soá hoïc phuï maø yeâu caàu vieát moïi thöù theo soá haïng z, cho chia z, khoâi phuïc z, vaø vieát laïi keá quaû cuoái cuøng theo soá haïng z-1. Ví duï 5.5.4: Tính caùc bieán ñoåi z ngöôïc hôïp lyù cuûa 6 + z−1 X()z = 1− 0.25z−2
  66. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Giaûi: Bôûi vì töû soá coù baäc 1 theo z-1, chuùng ta coù khai −1 −1 trieån PF: 6+z 6+z A1 A2 X()z = −2 = −1 −1 = −1 + −1 1−0.25z (1−0.5z )(1+0.5z ) 1−0.5z 1+0.5z trong ñoù: ⎡ 6 + z−1 ⎤ ⎡ 6 + z−1 ⎤ A1 = ⎢ −1 ⎥ = 4, A2 = ⎢ −1 ⎥ = 2 ⎣1+ 0.5z ⎦z=0.5 ⎣1− 0.5z ⎦z=−0.5 Hai cöïc taïi ± 0.5 coù cuøng bieân ñoä vaø vì theá chia maët phaúng z thaønh 2 mieàn ROC I vaø II: |z| > 0.5 vaø |z| < 0.5.
  67. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ñoái vôùi ROC thöù nhaát, caû hai soá haïng trong khai trieån PF ñöôïc bieán ñoåi nhaân quaû thaønh: n n x(n) = A1(0.5) u(n) + A2(– 0.5) u(n) Bôûi vì ROC naøy cuõng chöùa voøng troøn ñôn vò, tín hieäu x(n) seõ oån ñònh. Vôùi ROC thöù hai, caû hai khai trieån PF ñöôïc bieán ñoåi phaûn nhaân quaû thaønh: n n x(n) = – A1(0.5) u(–n –1) –A2(– 0.5) u( –n –1) Ñaùp soá naøy khoâng oån ñònh bôûi vì ROC khoâng chöùa voøng troøn ñôn vò. Ví duï 5.5.5: Xaùc ñònh taát caû bieán ñoåi z ngöôïc cuûa 10 + z −1 − z −2 X ()z = 1 − 0.25z −2
  68. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Giaûi: Trong tröôøng hôïp naøy, khoâng söû duïng ñöôïc khai trieån PF thoâng thöôøng vì baäc cuûa töû soá baèng baäc cuûa maãu soá. Tuy nhieân, chuùng ta vaãn coù theå coù khai trieån daïng (5.5.3). −1 −2 −1 −2 10 + z − z 10 + z − z A1 A2 X ()z = −2 = −1 −1 = A0 + −1 + −1 1 − 0.25z ()()1 − 0.5z 1 + 0.5z 1 − 0.5z 1 + 0.5z
  69. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Trong ñoù, A1 vaø A2 ñöôïc xaùc ñònh theo caùch thoâng thöôøng vaø A0 ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch tính X(z) taïi z = 0: ⎡10 + z−1 − z−2 ⎤ ⎡10z2 + z1 −1⎤ −1 A0 = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = = 4 −2 2 −0.25 ⎣ 1−0.25z ⎦ z=0 ⎣ z −0.25 ⎦ z=0 ⎡10 + z−1 − z−2 ⎤ ⎡10 + z−1 − z−2 ⎤ A1 = ⎢ −1 ⎥ = 4, A2 = ⎢ −1 ⎥ = 2 ⎣ 1+ 0.5z ⎦ z=0.5 ⎣ 1−0.5z ⎦ z=−0.5 Moät laàn nöûa, chæ coù hai ROC I vaø II: |z| > 0.5 vaø |z| < 0.5. Ñoái vôùi ROC thöù nhaát, caû hai soá haïng A1 vaø A2 ñöôïc bieán ñoåi nhaân quaû thaønh vaø soá haïng A0 ñôn giaûn bieán ñoåi ngöôïc laø δ(n). n n x(n) = A0d(n) + A1(0.5) u(n) + A2(– 0.5) u(n) Vôùi ROC thöù hai, ta coù: n n x(n) = A0d(n) – A1(0.5) u(–n –1) –A2(– 0.5) u( –n –1)
  70. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Chæ bieán ñoåi ngöôïc thöù nhaát laø oån ñònh vì ROC chöùa voøng troøn ñôn vò. Ví duï 5.5.6: Xaùc ñònh bieán ñoåi z ngöôïc nhaân quaû cuûa 6 + z −5 X ()z = 1 − 0.25z −2
  71. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Giaûi: Baäc cuûa töû soá hoaøn toaøn lôùn hôn baäc cuûa maãu soá. Phöông phaùp thöù nhaát laø chia töû soá cho maãu soá, ta coù: (6 + z-5) = (1 – 0.25z-2)(– 16z-1 –4z-3)+ (6+16z-1) Trong ñoù (6 + 16z-1) laø ña thöùc dö vaø (– 16z-1 –4z-3) laø soá −5 −1 thöông. Keá tieáp: 6 + z −1 −3 6 +16z X()z = =−16z −4z + 1−0.25z−2 1−0.25z−2 vaø khai trieån soá haïng cuoái cuøng thaønh daïng PF: 19 13 X ()z = −16 z −1 − 4z −3 + − 1 − 0.5z −1 1 + 0.5z −1 Bieáná ñoåiå z nhaân quaûû coùù ROC seõ laøø |z| > 0.5: x(n) = - 16 d(n -1) -4d(n - 1) + 19(0.5)nu(n) - 13( -0.5)nu(n)
  72. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Phöông phaùp thöù hai laø “khöû/khoâi phuïc”. Boû qua töû soá 1 0.5 0.5 chuùng ta coù: W ()z = = + 1− 0.25z−2 1− 0.5z−1 1+ 0.5z−1 maø coù bieán ñoåi z nhaân quaû: x(n) = 0.5(0.5)nu(n) + 0.5( -0.5)nu(n) Khi ñaõ bieát w(n) thì x(n) coù theå tìm ñöôïc baèng caùch khoâi phuïc töû soá: X(z)= (6 + z-5)W(z)= 6W(z)+ z-5W(z) Laáy bieán ñoåi z ngöôïc caû hai veá vaø söû duïng tính chaát treå, ta coù: n n x(n)=6w()n +w(n−5)=3(0.5) u(n)(+3 −0.5 )u(n) n−5 n−5 + 0.5()()()()0.5 u n−5 +0.5 −0.5 u n−5
  73. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Hai keát quaû thu ñöôïc töø hai phöông phaùp laø töông ñöông. Ví duï 5.5.7: Xaùc ñònh taát caû bieán ñoåi z ngöôïc coù theå coù 7−−+ 9.5zzz−−−123 3.5 5.5 cuûa: Xz()= ()()()1−−zzz−−−211 1 0.5 1 − 1.5 Giaûi: X(z) thoûa khai trieån PF 1 1 3 2 X ()z = + + + 1− z−1 1+ z−1 1− 0.5z−1 1− 1.5z−1 trong ñoù caùc heä soá khai trieån PF deã daøng tìm ñöôïc. Boán cöïc taïi z = 0.5, 1, -1, 1.5 chia mieàn z thaønh 4 mieàn ROC I, II, III, IV. Mieàn I töông öùng vôùi ñaûo hoaøn toaøn phaûn nhaân quaû vaø mieàn IV töông öùng vôùi ñaûo hoaøn toaøn nhaân quaû.
  74. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Ñoái vôùi mieàn II, cöïc taïi z = 0.5 seõ bieán ñoåi ngöôïc nhaân quaû vaø phaàn coøn laïi phaûn nhaân quaû. Coøn mieàn III, z = 0.5 vaø z = ±1 seõ bieán ñoåi ngöôïc nhaân quaû vaø z = 1.5 thì ñaûo phaûn nhaân quaû. Do ñoù, boán bieán ñoåi z ngöôïc coù theå coù laø: n n n x1 ()n = −[1 + (− 1) + 3(0.5 ) + 2(1.5 ) ]u (− n − 1) n n n x 2 ()()()n = 3 0.5 u n − []1 + ()− 1 + 2 ()1.5 u ()− n − 1 n n n x 3 ()n = []1 + (− 1 )+ 3 (0.5 )u ()n − 2 (1.5 )u (− n − 1 ) n n n x 4 ()n = []1 + (− 1 )+ 3 (0.5 )+ 2 (1.5 )u ()n Noùi chính xaùc, khoâng coù keát quaû naøo laø oån ñònh bôûi vì hai cöïc z = ± 1 naèm treân voøng troøn ñôn vò. Tuy nhieân, x2(n) vaø x3(n) laø oån ñònh bieân, nghóa laø khoâng hoäi tuï cuõng phaân kyø veà 0 khi nhaân quaû lôùn.
  75. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Trong caû hai tröôøng hôïp, soá haïng phaûn nhaân quaû (1.5)n tieán veà 0 vôùi nhaân quaû aâm lôùn. Thaät vaäy, do nhaân quaû aâm, chuùng ta vieát n = - |n| vaø (1.5)n = (1.5)- |n| ô 0 khi n ô•. Caùc soá haïng do cöïc z = ± 1 laø nhaân quaû hoaëc phaûn nhaân quaû trong tröôøng hôïp II vaø III, nhöng chuùng vaãn bò chaën. Hai tín hieäu khaùc x1(n) vaø x4(n) laø khoâng oån ñònh vì voøng troøn ñôn vò khoâng naèm trong ROC cuûa chuùng. Giaûsöûraèng ña thöùc töûsoávaømaãu soáN(z) vaøD(z) coùcaùc heä soá thöïc nghóa laø caùc cöïc phöùc cuûa X(z) laø caùc caëp lieân hôïp phöùc. Trong tröôøng hôïp ñoù, khai trieån PF coù daïng: * A1 A1 A2 X ()z = −1 + * −1 + −1 + 1− p1z 1− p1 z 1− p2 z
  76. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Trong ñoù, caùc heä soá khai trieån PF cuõng laø caùc caëp lieân hôïp phöùc. Vì theá, chæ caàn xaùc ñònh moät laø ñuû, khoâng caàn caû hai. Bieán ñoåi z ngöôïc töông öùng seõ laø thöïc, thaät vaäy, xeùt tröôøng hôïp nhaân quaû chuùng ta coù: n * *n n x()n = A1 p1 u(n)()+ A1 p1 u n + A2 p2 u(n)+ Bôûi vì hai soá haïng ñaàu tieân laø lieän hôïp phöùc cuûa nhau neân chuùng ta coù theå duøng keát quaû C + C* = 2Re(C) cho baát kyø soá phöùc C naøo ñeå vieát soá haïng thöù nhaát. n * *n n A1 p1 u(n)+ A1 p1 u(n) = 2 Re[A1 p1 ] jα1 jω1 Vieátá A1 vaøø p1 döôùùi daïïng cöïc: A 1 = B 1 e vaø p 1 = R 1 e vôùiù B1 > Re A pn = Re B e jα1 R ne jω1n = B R n Re e jω1 n+ jα1 0 vaøø R1 > 0, ta coùù: [ 1 1 ] [ 1 1 ] 1 1 [ ] vaøø laáyá phaànà thöïc cuûûa luõy thöøa, ta coùù:
  77. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ n * *n n n A1p1 u()n + A1p1 u(n) = 2 Re[A1p1 ]= 2B1R1 cos(ω1n + α1 ) n n vaø x(n) = 2B1R 1 cos(ω1n + α1 )+ A 2 p2 u(n)+ Do ñoù,ù caùcù cöïc phöùc töông öùng haøøm sin suy giaûûm theo n luõy thöøa (neáuá R1 < 1). Ñöôøøng bao suy giaûûm R 1 vaøø taààn soáá ω1 jω1 phuïï thuoäcä vaøoø cöïc phöùc p 1 = R 1 e . Caùcù soáá haïngï baääc moäät trong khai trieåån PF töông öùng vôùùi caùùc cöïc lieân hôïïp phöùc coùù theåå ñöôïïc toåå hôïïp laïïi thaøønh soáá haïïng baäcä hai vôùùi caùùc heää soáá thöïc nhö sau: * * * * −1 A 1 A 1 (A 1 + A 1 )− (A 1p1 + A 1 p1 )z −1 + * −1 = −1 * −1 1 − p 1z 1 − p1 z ()()1 − p1z 1 − p1 z Söû duïngï ñoàngà nhaáát thöùc:
  78. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ − 1 * − 1 − 1 2 − 2 ()1 − p 1 z (1 − p 1 z ) = 1 − 2 Re ()p 1 z + p 1 z jω1 −1 − jω1 −1 −1 2 −2 Hoaëc (1− R1e z )(1− R1e z )= 1− 2R1 cos(ω1 )z + R1 z vaø vieát A1 + A1* = 2Re(A1) = 2B1cos(a1) A1p1* + A1*p1 = 2Re(A1p1*) = 2B1R1cos(ω1 - a1) chuùngù ta tìm ñöôïïc: * − 1 A 1 A 1 2 B 1 cos (α 1 ) − 2 B 1 R 1 cos (α 1 − ω 1 )z − 1 + * − 1 = − 1 2 − 2 1 − p 1 z 1 − p 1 z 1 − 2 R 1 cos ()ω 1 z + R 1 z coùù caùcù heää soáá thöïc. Ví duïï 5.5.8: Xaùùc ñònh taátá caûû bieáán ñoååi z ngöôïïc coùù theåå coùù 4 − 3z−1 + z−2 cuûûa: X ()z = 1 + 0.25z−2
  79. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Giaûi: 4 − 3z−1 + z−2 4 − 3z−1 + z−2 X()z = −2 = −1 −1 1+0.25z ()()1+0.5 jz 1−0.5 jz A A = A + 1 2 0 1−0.5 jz−1 1+0.5 jz−1 vôùiù caùcù giaùù trò
  80. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ ⎡4 − 3z−1 + z−2 ⎤ ⎡4 − 3z−1 + z−2 ⎤ A0 = ⎢ −2 ⎥ = 4, A1 = ⎢ −1 ⎥ = 3 j ⎣ 1 + 0.25z ⎦z=0 ⎣ 1 + 0.5 jz ⎦z=0.5 j 3 j 3 j 3 z −1 X ()z = 4 + − = 4 − Vì theá: 1 − 0.5 jz − 1 1 + 0.5 jz −1 1 + 0.25 z − 2 ROC nhaân quaû laø ⏐z⏐ > ⏐0.5j⏐ = 0.5 seõ cho: x()n = 4δ (n)+ 3 j(0.5 j)n u(n)− 3 j(− 0.5 j)n u(n) Vì hai soáá haïngï cuoáái cuøøng laøø lieân hôïïp phöùc cuûûa nhau neân chuùngù ta vieátá laïïi thaønh:ø n n n+1 x()n = 4δ (n)+ 2 Re[3 j(0.5 j) u(n)]= 4δ (n)+ 6(0.5) u(n)Re[j ] Vieátá jn+1 = ejπ(n+1)/2, ta tìm ñöôïïc phaààn thöïc: n +1 ⎛ π (n + 1)⎞ ⎛ πn ⎞ Re[]j = cos ⎜ ⎟ = − sin ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ n ⎛ π n ⎞ vaøø x ()n = 4δ ()n − 6 (0.5 )sin ⎜ ⎟u ()n ⎝ 2 ⎠
  81. CHCHÖÖÔNGÔNG 5:5: BIEBIEÁNÁN ÑÑOOÅÅII ZZ Töông töï, chuùng ta tìm ñöôïc n ⎛ π n ⎞ x ()n = 4 δ ()n + 6 (0 . 5 )sin ⎜ ⎟ u ()− n − 1 ⎝ 2 ⎠ ñoái vôùi phieân baûn phaûn nhaân quaû coù ROC ⏐z⏐ < 0.5. Moät soá ví duï khaùc vôùi caùc cöïc lieân hôïp phöùc laø caùc tröôøng hôïp (6 – 9) cuûa ví duï 5.2.2.