›
›

Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 4: Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số - Đinh Đức Anh Vũ

pdf 85 trang ngocly 30
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 4: Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số - Đinh Đức Anh Vũ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_xu_ly_tin_hieu_so_chuong_4_tin_hieu_va_he_thong_tr.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 4: Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số - Đinh Đức Anh Vũ

  1. dce 2011 Chương 4 Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số BK TP.HCM ©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ
  2. dce 2011 Nội dung • Phân tích tần số của t/h LTTG • Phân tích tần số của t/h RRTG • Các tính chất của BĐ Fourier cho các t/h RRTG • Đặc trưng miền tần số của hệ LTI • Bộ lựa chọn tần số DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 2
  3. dce 2011 Tại sao miền tần số ? Tần số F t/h hình SIN: F0 t/h hình SIN: F1 Tín hiệu t/h hình SIN: F2 F Công cụ phân tích tần số - Chuỗi Fourier – tín hiệu tuần hoàn - Biến đổi Fourier – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn (J.B.J. Fourier: 1768 - 1830) F -1 Tín hiệu X F Tín hiệu X -1 F Công cụ tổng hợp tần số - Chuỗi Fourier ngược – tín hiệu tuần hoàn - Biến đổi Fourier ngược – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 3
  4. dce 2011 Đáp ứng của hệ LTI với t/h sin T/h hình Sin T/h hình Sin ω ω +θ Ae j 0n Aαe j( 0n ) Biên độ: Co/giãn lượng α Pha: Lệch lượng θ Tần số: Không đổi ω0 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 4
  5. dce 2011 Phân tích h/t ở miền tần số Tần số t/h hình SIN: F0 Tín hiệu F t/h hình SIN: F1 t/h hình SIN: F2 Phổ Phổ (spectrum): Nội dung tần số của tín hiệu Phân tích phổ: Xác định phổ của t/h dựa vào công cụ toán học Ước lượng phổ: Xác định phổ của t/h dựa trên phép đo t/h Tần số x1(t): F0 x0(t): 0 F-1 x(t) x-1(t):-F0 Phổ Tổng hợp tần số: Xác định t/h ban đầu từ các phổ tần số DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 5
  6. dce 2011 T/h LTTG và tuần hoàn (1) • Chuỗi Fourier – x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản Tp = 1/F0 (F0: tần số) +∞ j2πkF0t x(t) = ∑ck e Phương trình tổng hợp k =−∞ j2πkF0t – Đặt xk (t) = ck e • xk(t) tuần hoàn với chu kỳ Tk=Tp/k (kF0: tần số) +∞ x(t) = ∑ xk (t) k =−∞ • Đóng góp cho x(t) một lượng ck (Tần số kF0 có đóng góp một lượng ck) – Hệ số chuỗi Fourier 1 − π c = x(t)e j2 kF0t dt k T ∫ Phương trình phân tích p Tp Đóng góp về biên độ Đóng góp về pha jθk ck = ck e DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 6
  7. dce 2011 T/h LTTG và tuần hoàn (2) • Đ/k Dirichlet: bảo đảm chuỗi Fourier hội tụ về x(t) ∀t – x(t) có số hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ – x(t) có số hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ – x(t) khả tích phân tuyệt đối trong một chu kỳ, tức ∫ x(t) dt < ∞ • Đ/k Dirichlet chỉ là đ/k đủ Tp – T/h biểu diễn bằng chuỗi Fourier chưa chắc thỏa đ/k Dirichlet • Nếu x(t) là t/h thực jθk – ck và c-k liên hợp phức ( ck = ck e ∞ ) – Biểu diễn rút gọn của chuỗi F x(t) = c0 + 2∑ ck cos(2πkF0t +θk ) k =1 – Do cos(2πkF0t + θk) = cos2πkF0t cosθk – sin2πkF0t sinθk ⇒ Cách biểu diễn khác của chuỗi F ∞ x(t) = a0 + 2∑(ak cos 2πkF0t − bk sin 2πkF0t) k =1 Với a0 = c0 ak = │ck│cosθk bk = │ck│sinθk DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 7
  8. dce 2011 T/h LTTG và tuần hoàn (3) • Ví dụ 1: Phân tích tín hiệu sau ra các thành phần tần số x(t) = 3Cos(100πt – π/3) π −π − π −π 3 j(100 t 3 ) 3 j(100 t 3 ) x(t) = 2 e + 2 e −π π 3 3 j j(100πt) 3 3 j − j(100πt) = 2 e e + 2 e e 50Hz đóng góp c1 Đồng nhất với PT tổng hợp F -50Hz đóng góp c −π j -1  3 3 Tín hiệu miền thời gian c1 = 2 e Phổ tần số ⇒  π 3 3 j c−1 = 2 e DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 8
  9. dce 2011 T/h LTTG và tuần hoàn (4) |C | Phổ biên độ k 3/2 Tần số k -1 0 1 50Hz (c1) |θ | Tín hiệu F k - 50Hz (c-1) π/3 1 k -1 0 Phổ pha -π/3 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 9
  10. dce 2011 T/h LTTG và tuần hoàn (5) • Ví dụ 2: Cho biết t/h x(t) tuần hoàn, tần số cơ bản: 100Hz, gồm các tần số và hệ số đóng góp của chúng như sau 100 Hz, đóng góp: 2 -100 Hz, đóng góp: 2 200 Hz, đóng góp: 5 -200Hz, đóng góp: 5 Xác định công thức của x(t) Theo PT tổng hợp: x(t) = 2e j2π 100t + 2e− j2π 100t + 5e j2π 200t + 5e− j2π 200t = 4cos(200πt) +10cos(400πt) 200Hz : 5 x(t) 100Hz : 2 -100Hz : 2 F-1 -200Hz : 5 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 10
  11. dce 2011 T/h LTTG và tuần hoàn (6) +∞ 1  − π  • Công suất trung bình = * j2 F0t Px ∫ x(t) ∑ck e dt 1 2 1 * Tp  k =−∞  P = | x(t) | dt = x(t)x (t)dt Tp x T ∫ T ∫ p Tp p Tp +∞ +∞   − π * 1 − j2πF0t * * j2 kF0t = c  x(t)e dt x (t) = ∑ck e ∑ k ∫ [ ] =−∞ k =−∞ Tp  k  Tp  – Do đó +∞ 1 2 = = 2 Px ∫ x(t) dt ∑| ck | Công thức quan hệ Parseval T k =−∞ p Tp • Phổ mật độ công suất – Công suất trung bình tổng cộng bằng tổng các công suất trung bình của các t/h hài tần – Giản đồ công suất theo tần số – Phổ vạch: các vạch cách đều đoạn F0 * – Hàm chẵn (do c-k = c k đ/v t/h thực) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 11
  12. dce 2011 T/h LTTG và tuần hoàn (7) • Ví dụ 1: tính công suất trung bình của x(t) = 3Cos(100πt – π/3) −π π 3 3 j 3 3 j – Theo VD trên, c 1 = 2 e và c−1 = 2 e 2 2 – Theo Parseval, Px = │c–1│ + │c1│ = 4.5 • Ví dụ 2: cho x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ Tp. Phân tích x(t) ra các thành phần tần số x(t) Miền thời gian A A, | t |≤τ / 2 x(t) =  t 0, | t |>τ / 2 -T -τ/2 0 τ/2 T Miền tần số p p τ / 2 − π τ / 2  j2 kF0t  1 − j2πkF0t A e ck = Ae dt =   T ∫ T − j2πkF Tp / 2 τ / 2 p −τ / 2 p  0  −τ / 2 1 1 Aτ π τ − π τ c = x(t)dt = Adt = A e j kF0 − e j kF0 Aτ sinπkF τ 0 T ∫ T ∫ T = = 0 p −Tp / 2 p −τ / 2 p TpπkF0 2 j Tp πkF0τ DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 12
  13. dce 2011 T/h LTTG và tuần hoàn (8) Aτ sinπkF0τ ck = Minh họa ck ở miền tần số Tp πkF0τ DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 13
  14. dce 2011 T/h LTTG và tuần hoàn (9) Tổng hợp x(t) từ các thành phần hình Sin Thông số: Tp = 50s τ = 0.2Tp A = 1 Tổng hợp từ 21 thành phần DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 14
  15. dce 2011 T/h LTTG và tuần hoàn (10) Tổng hợp từ 101 thành phần Tổng hợp từ 2001 thành phần DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 15
  16. dce 2011 T/h LTTG và không tuần hoàn (1) • T/h tuần hoàn xp(t) – Có được do lặp lại t/h x(t) – Tuần hoàn chu kỳ cơ bản Tp – Có phổ vạch: khoảng cách vạch F0=1/Tp • T/h không tuần hoàn x(t) – Có thể coi như xp(t) khi Tp → ∞ – Khoảng cách vạch F0 = 1/Tp → 0 ⇒ Phổ của tín hiệu không tuần hoàn là phổ liên tục DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 16
  17. dce 2011 T/h LTTG và không tuần hoàn (2) • Biến đổi Fourier – x(t): LTTG, không tuần hoàn +∞ X (F) = x(t)e− j2πFt dt Phương trình phân tích ∫ (biến đổi Fourier thuận) −∞ • Hệ số Fourier 1 ck = X (kF0 ) = F0 X (kF0 ) Tp +∞ x(t) = X (F)e j2πFt dF Phương trình tổng hợp ∫ (biến đổi Fourier ngược) −∞ – Đ/k Dirichlet • x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn hữu hạn • x(t) có hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu +∞ • x(t) khả tích phân tuyệt đối, nghĩa là ∫ x(t) dt < ∞ −∞ DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 17
  18. dce 2011 T/h LTTG và không tuần hoàn (3) • Ví dụ: cho x(t) không tuần hoàn. Phân tích x(t) ra các thành phần tần số +∞ X (F) = Ae− j2πFt dt A, | t |≤τ / 2 ∫ x(t) =  F −∞ 0, | t |>τ / 2 sinπFτ = Aτ πFτ Miền thời gian Miền tần số x(t) A -τ/2 0 τ/2 t DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 18
  19. dce 2011 T/h LTTG và không tuần hoàn (4) Phân tích x(t) thành các thành phần tần số Tần số Thông số: A = 1 τ = 10s F x(t) Phổ DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 19
  20. dce 2011 T/h LTTG và không tuần hoàn (5) • Năng lượng +∞ +∞ +∞ +∞  = 2 = * E = x(t) X * (F)e− j2πFt dF dt Ex ∫| x(t) | dt ∫ x(t)x (t)dt x ∫  ∫  −∞ −∞ −∞ −∞  +∞ +∞ +∞ * * − j2πFt  − π  x (t) = ∫ X (F)e dF = ∫ X * (F)dF  ∫ x(t)e j2 Ft dt −∞ −∞ −∞  Do đó +∞ +∞ 2 2 = = Công thức quan hệ Parseval Ex ∫ x(t) dt ∫ X (F) dF −∞ −∞ – Bảo toàn năng lượng trong miền thời gian và miền tần số 2 – Phổ mật độ năng lượng Sxx(F) = |X(F)| • Không chứa phổ pha → không được dùng để khôi phục lại x(t) – Nếu x(t) là t/h thực X (−F) = X (F)   Sxx (F) = Sxx (−F) ∠X (−F) = −∠X (F)  DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 20
  21. dce 2011 T/h LTTG và không tuần hoàn (6) F/F-1 F/F-1 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 21
  22. dce 2011 T/h RRTG và tuần hoàn (1) • x(n) là t/h tuần hoàn chu kỳ N x(n+N) = x(n) ∀n • Chuỗi Fourier cho t/h RRTG có tối đa N thành phần tần số (do tầm tần số [0, 2π] hoặc [-π, π]) • Chuỗi Fourier rời rạc (DTFS) N −1 π k j2 N n x(n) = ∑ck e Phương trình tổng hợp k =0 • Hệ số Fourier – Mô tả x(n) trong miền tần số (ck biểu diễn biên độ và pha của thành phần tần j2πkn/N số sk(n) = e ) N −1 − π k 1 j2 N n ck = ∑ x(n)e Phương trình phân tích N n=0 – ck+N = ck ⇒ Phổ của t/h tuần hoàn x(n) với chu kỳ N là một chuỗi tuần hoàn cũng với chu kỳ N DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 22
  23. dce 2011 T/h RRTG và tuần hoàn (2) • Ví dụ: Xác định và vẽ phổ cho các t/h sau a. x(n) = 3cos( 2πn) π b. x(n) = 3cos( 3 n) c. x(n) :tuan hoan,1chu ky :{1 0 2 1} ↑ a. x(n) = 3cos( 2πn) f0 : không hữu tỉ ω0 = 2π ,tuc f0 =1/ 2 → x(n) không tuần hoàn Phổ → Phổ gồm chỉ một tần số đơn: f0 3 Tần số ω0 = 2π DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 23
  24. dce 2011 T/h RRTG và tuần hoàn (3) π b. x(n) = 3cos( 3 n) x(n) = 3cos(2πn/6) ⇒ f0 = 1/6 ⇒ N = 6 ⇒ x(n) tuần hoàn chu kỳ N=6 5 − π k 1 j2 6 n Các hệ số đóng góp ck = ∑ x(n)e k = 0 5 6 n=0 1 Tuy nhiên x(n) = 3cos(2π n) 6 3 j2π 1 n 3 − j2π 1 n = e 6 + e 6 2 2 c0 = c2 = c3 = c4 = 0 So trùng với phương trình tổng hợp 3 c1 = c5 = 2 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 24
  25. dce 2011 T/h RRTG và tuần hoàn (4) π b. x(n) = 3cos( 3 n) Tín hiệu trong miền thời gian: (3 chu kỳ) Tín hiệu trong miền tần số DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 25
  26. dce 2011 T/h RRTG và tuần hoàn (5) c. x(n) :tuan hoan,1chu ky :{1 0 2 1} ↑ 3 − π k 1 j2 4 n Ck = ∑ x(n)e k = 0 3 4 n=0 1 − π − j 3πk = (1+ 2e j k + e 2 ) 4 1 C0 = 4 (1+ 2 +1) =1 3π 1 j−1 2 j 4 C1 = 4 (1− 2 + j) = 4 = 4 e 1 1 C2 = 4 (1+ 2 −1) = 2 5π 1 −1− j 2 j 4 C3 = 4 (1− 2 − j) = 4 = 4 e DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 26
  27. dce 2011 T/h RRTG và tuần hoàn (6) • Công suất trung bình N −1 N −1 N −1 N −1 j2πkn 1 2 1 * 1  −  P = x(n) = x(n)x (n) =  * N  x ∑ ∑ Px ∑ x(n)∑ck e  N n=0 N n=0 N n=0  k =0  N −1 j2πkn * * − j2πkn/ N N −1 N −1 − x (n) = c e *  1  ∑ k = c  x(n)e N  k =0 ∑ k  ∑  k =0  N n=0  – Do đó N −1 N −1 1 2 2 Px = ∑ x(n) = ∑ ck Công thức quan hệ Parseval N n=0 k =0 2 – Chuỗi │ck│ : phổ mật độ công suất của t/h tuần hoàn • Năng lượng t/h trong một chu kỳ N −1 N −1 2 2 EN = ∑ x(n) = N∑ ck n=0 k =0 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 27
  28. dce 2011 T/h RRTG và tuần hoàn (7) * * • Nếu x(n) thực [x (n) = x(n)], ⇒ ck = c-k – Tức  c−k = ck Phobien do doi xung chan  − ∠c−k = ∠ck Pho pha doi xung le – Ngoài ra, từ cN+k = ck, ta cũng có  ck = cN −k  ∠ck = −∠cN −k – Đ/v t/h thực, phổ ck (k=0,1, ,N/2 khi N chẵn hoặc k=0,1, ,(N-1)/2 khi N lẻ) hoàn toàn có thể đặc tả cho t/h trong miền tần số – Khi đó, chuỗi Fourier có thể được rút gọn a0 = c0 L π  2 a = 2 c cosθ x(n) = c0 + 2∑ ck cos( kn +θk )  k k k k =1 N  Với bk = 2 ck sinθk L   2π 2π   N = a + a cos kn − b sin kn  2 N :chan 0 ∑ k k L =  k =1  N N   N −1   2 N :le DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 28
  29. dce 2011 T/h RRTG và tuần hoàn (8) Mi x(n) ền gian ền thời * A * * * * * * * * * * -N 0 L N n Mi  AL k = 0,±N,±2N, ền tần số ền tần   N   πkL  c =  jπk (L−1) sin  k A −  N   e N k khac  N  πk   sin    N  DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 29
  30. dce 2011 T/h RRTG và không tuần hoàn (1) • Chỉ xét t/h năng lượng x(n) • Biến đổi Fourier ∞ − jωn X (ω) = ∑ x(n)e Phương trình phân tích n=−∞ – X(ω): nội dung tần số của t/h – Khác biệt cơ bản giữa BĐ Fourier của t/h năng lượng RRTG và t/h năng lượng LTTG • Tầm tần số – T/h LTTG: -∞ → +∞ – T/h RRTG: 0 → 2π hoặc –π → π [X(ω) tuần hoàn chu kỳ 2π] • Cách tính: dùng tích phân thay vì dùng tổng • Hệ số Fourier 1 jωn x(n) = ∫ X (ω)e dω Phương trình tổng hợp 2π 2π DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 30
  31. dce 2011 T/h RRTG và không tuần hoàn (2) • Ví dụ: xác định nội dung tần số của tín hiệu sau x(n) = { 0 1 1 1^ 1 1 0 } X (ω) = e j2ω + e jω +1+ e− jω + e− j2ω X (ω) =1+ 2cosω + 2cos(2ω) Chú ý: X(ω) tuần hoàn Chu kỳ: 2π DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 31
  32. dce 2011 T/h RRTG và không tuần hoàn (3) Tần số F x(n) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 32
  33. dce 2011 T/h RRTG và không tuần hoàn (4) • Ví dụ: cho X(ω), tìm t/h trong miền thời gian X(ω) 1 π x(n) = ∫ X (ω)e jωndω 1 2π −π ω 1 c = ∫ e jωndω ω 2π 0 −ωc -ωc ωc ω c n = 0  π x(n) =  ω sinω n  c c n ≠ 0  π ωcn DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 33
  34. dce 2011 T/h RRTG và không tuần hoàn (5) N • Sự hội tụ của BĐ Fourier − jωn X N (ω) = ∑ x(n)e n=−N – Trong BĐ Fourier ngược (PT phân tích), chuỗi XN(ω) được giả thiết hội tụ về X(ω) khi N→∞ – Ý nghĩa: giá trị sai số X(ω) – XN(ω) sẽ bằng 0 khi N→∞ lim X (ω) − X N (ω) = 0 N →∞ – XN(ω) hội tụ nếu x(n) khả tổng tuyệt đối ∞ ∞ X (ω) = ∑ x(n)e− jωn ≤ ∑ x(n) < ∞ n=−∞ n=−∞ • Đ/k đủ để tồn tại BĐ Fourier RRTG • Tương đương đ/k Dirichlet thứ 3 cho BĐ Fourier của t/h LTTG (đ/k 1 và 2 không có do bản chất của t/h RRTG) – Nếu x(n) khả tổng bình phương tuyệt đối (i.e. x(n) có năng lượng hữu hạn) • Đ/k hội tụ được giảm nhẹ π 2 lim X (ω) − X N (ω) dω = 0 N →∞ ∫ −π • Năng lượng của sai số X(ω) – XN(ω) sẽ tiến về 0, nhưng không nhất thiết giá trị sai số tiến về 0 – T/h năng lượng có BĐ Fourier DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 34
  35. dce 2011 T/h RRTG và không tuần hoàn (6) • Năng lượng ∞  π  +∞ +∞ 1 * − jωn 2 E = x(n) X (ω)e dω E = x(n) = x(n)x* (n) x ∑  ∫  x ∑ ∑ n=−∞ 2π −π n=−∞ n=−∞   π π ∞ 1 1  − ω  x* (n) = X * (ω)e− jωndω = X * (ω) x(n)e j n dω π ∫ ∫  ∑  2 −π 2π −π n=−∞  – Do đó +∞ π 2 1 2 = = ω ω Ex ∑ x(n) ∫ X ( ) d Công thức quan hệ Parseval n=−∞ 2π −π Θ ω – X(ω) là số phức X (ω) =| X (ω) | e j ( ) • Phổ biên độ X (ω) • Phổ pha Θ(ω) 2 * • Phổ mật độ năng lượng Sxx (ω) = X (ω) = X (ω)X (ω) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 35
  36. dce 2011 T/h RRTG và không tuần hoàn (7) • Ví dụ – Cho tín hiệu x(n) = anu(n), –1< a <1 – Yêu cầu: a) Lập công thức biểu diễn tín hiệu trong miền tần số ? b) Lập công thức biểu diễn phổ biên độ, pha và năng lượng? c) Vẽ 3 phổ nói trên, với a = 0.9, a = –0.9? d) Tần số (π/2) có mặt trong sự thành lập tín hiệu x(n) không? Nếu có thì đóng góp biên độ và pha là bao nhiêu? ∞ ∞ a) X(ω) = ? X (ω) = ∑ ane− jωn = ∑(ae− jω )n n=0 n=0 1 X (ω) = 1− ae− jω DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 36
  37. dce 2011 T/h RRTG và không tuần hoàn (8) b) |X(ω)|, Θ(ω), Sxx(ω) = ? 1 (1− ae jω ) (1− a cosω) − j(asinω) X (ω) = = = 1− ae− jω (1− ae− jω )(1− ae jω ) 1− 2a cosω + a2 (1− a cosω) X (ω) = R 1− 2a cosω + a2 − asinω X (ω) = I 1− 2a cosω + a2 2 2 | X (ω) |= X R (ω) + X I (ω) ω Θ(ω) = tan −1( X I ( ) ) X R (ω) 1 1 S (ω) = X (ω)X * (ω) = = xx (1− ae− jω )(1− ae jω ) 1− 2a cosω + a2 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 37
  38. dce 2011 T/h RRTG và không tuần hoàn (9) c) Vẽ phổ d) ω=π/2 1 1 π = = X ( 2 ) − j π 1− ae 2 1+ ja π 1 | X ( 2 ) |= 1+ a2 Θ π = − −1 │X(π/2)│≠ 0 ( 2 ) tan (a) Tần số π/2 có mặt trong tín hiệu DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 38
  39. dce 2011 T/h RRTG và không tuần hoàn (10) • Nếu x(n) thực – X*(ω) = X(–ω)  X (−ω) = X (ω)  ∠X (−ω) = ∠X (ω) – Sxx(–ω) = Sxx(ω) • Ví dụ L=5 A, 0 ≤ n ≤ L −1 x(n) =  A=1  0, otherwise ωL − j ω (L−1) sin( ) ω = 2 2 X ( ) Ae ω sin( 2 ) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 39
  40. dce 2011 Phân loại t/h ở miền tần số • Phân loại t/h dựa vào phổ mật độ công suất/năng lượng – T/h tần số cao: phổ tập trung ở tần số cao – T/h tần số thấp: phổ tập trung ở tần số 0 – T/h tần số trung bình (t/h bandpass): phổ tập trung trong dải tầm tần số • Băng thông – Tầm tần số mà phổ mật độ công suất (năng lượng) của t/h tập trung F1≤F≤F2 – Trong trường hợp t/h bandpass, nếu băng thông của t/h quá nhỏ (hệ số 10) so với tần số giữa (F1+F2)/2: băng thông hẹp. Ngược lại là băng thông rộng – T/h băng thông giới hạn là t/h có phổ bằng không bên ngoài tầm tần số T/h không tuần hoàn T/h tuần hoàn Time-limited: x(t)=0 với |t|>τ Time-limited: x (t)=0 với τ B Bandlimited: ck=0 với |k|>M Time-limited: x(n)=0 với |n|>N Time-limited: x(n)=0 với n <|n|<N RRTG 0 Bandlimited: |X(ω)|=0 với ω0<|ω|<π Bandlimited: ck=0 với k0<|k|<N DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 43
  41. dce 2011 Đối ngẫu • 2 tính chất đặc trưng cho t/h trong miền thời gian (mặt toán học và mặt vật lý) – Biến thời gian: liên tục hay rời rạc – Tính chu kỳ: tuần hoàn hay không tuần hoàn • Biến thời gian – T/h LTTG • Phổ không tuần hoàn, không phụ thuộc t/h miền thời gian tuần hoàn hay không (do hàm mũ ej2πFt liên tục theo thời gian, không tuần hoàn theo F) • Dải tầm tần số F: [0 ∞] – T/h RRTG • Phổ tuần hoàn chu kỳ ω = 2π • Dải tầm tần số F: [- π π] Tu ần hoàn với chu kỳ α trong một miền • Tính chu kỳ thì sẽ rời rạc với khoảng cách 1/α – T/h tuần hoàn trong miền khác, và ngược lại • Phổ rời rạc (phổ vạch) • Khoảng cách phổ : ΔF=1/Tp (t/h LTTG) hoặc Δf=1/N (t/h RRTG) – T/h năng lượng không tuần hoàn • Phổ liên tục (do hàm mũ ej2πFt hoặc ejωn liên tục, không tuần hoàn theo F hoặc ω) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 44
  42. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier • T/h RRTG, không tuần hoàn và có năng lượng hữu hạn • Tương tự cho t/h LTTG, không tuần hoàn và có năng lượng hữu hạn • Qui ước ∞ − ω – BĐ Fourier thuận X (ω) ≡ F{x(n)} = ∑ x(n)e j n n=−∞ 1 – BĐ Fourier nghịch x(n) ≡ F −1{X (ω)} = ∫ X (ω)e jωndω 2π 2π – Cặp BĐ Fourier x(n)←F → X (ω) • Chú ý: X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 45
  43. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier • Tính đối xứng – Nếu t/h có một số đặc tính đối xứng trong miền thời gian, việc xem xét các đ/k đối xứng trên BĐ Fourier của nó cho phép đơn giản hóa các phương trình BĐ Fourier thuận và nghịch – Giả sử • x(n) = xR(n) + jxI(n) • X(ω) = XR(ω) + jXI(ω) và e–jω = cosω – jsinω (ejω = cosω + jsinω), ta có  ∞ X R (ω) = ∑[xR (n)cosωn + xI (n)sinωn]  n=−∞ BĐ Fourier thuận  ∞ X (ω) = − [x (n)sinωn − x (n)cosωn]  I ∑ R I  n=−∞  1 = ω ω − ω ω ω xR (n) ∫[X R ( )cos n X I ( )sin n]d  2π 2π BĐ Fourier nghịch  1 x (n) = [X (ω)sinωn + X (ω)cosωn]dω  I ∫ R I  2π 2π DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 46
  44. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier • Tính đối xứng (tt) – T/h thực • xR(n) = x(n) và xI(n) = 0, do đó  ∞ X (ω) = x(n)cosωn  R ∑  −ω = ω  =−∞ X R ( ) X R ( ) * n  X (ω) = X (−ω)  ∞ X I (−ω) = −X I (ω) X (ω) = − x(n)sinωn Đối xứng Hermitian  I ∑  n=−∞  X (ω) = X 2 (ω) + X 2 (ω) • Do  R I  X (−ω) = X (ω)  −1 X (ω)  ∠X (ω) = tan I ∠X (−ω) = −∠X (ω)  X R (ω)  1 xn()= [ X ()cosω ω n− X ()sin ω ωω nd] • Do  π ∫ RI  2 2π  [ XRI()cosω ω n] và[ X ()sin ωω n] là hàmchan 1 π x(n) = [X R (ω)cosωn − X I (ω)sinωn]dω π ∫0 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 47
  45. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier • Tính đối xứng (tt) – T/h thực và chẵn • xR(n) = x(n) và x(–n) = x(n), nên [x(n)cosωn] chẵn và [x(n)sinωn] lẻ • Do đó  ∞ XR (ωω )= x (0) + 2∑ x ( n )cos n ( hàmchan )  n=1  X I ()ω = 0 1 π x( n )= X (ω )cos ωω nd π ∫0 R – T/h thực và lẻ • xR(n) = x(n) và x(–n) = –x(n), nên [x(n)cosωn] lẻ và [x(n)sinωn] chẵn • Do đó X (ω) = 0  R  ∞ X I (ω) = −2∑ x(n)sinωn (hàmle)  n=1 1 π x(n) = − X I (ω)sinωndω π ∫0 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 48
  46. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier • Tính đối xứng (tt) – T/h ảo • xR(n) = 0 và x(n) = jxI(n) và x(–n) = x(n), do đó  ∞ X R (ω) = ∑ xI (n)sinωn (hàmle)  n=−∞  ∞ X (ω) = x (n)cosωn (hàmchan)  I ∑ I  n=−∞ 1 π xI (n) = [X R (ω)sinωn + X I (ω)cosωn]dω π ∫0 xI(n) lẻ xI(n) chẵn  ∞ X (ω) = 0 X (ω) = 2 x (n)sinωn (hàmle) R  R ∑ I  ∞  n=1   X I (ω) = xI (0) + 2∑ xI (n)cosωn (hàmchan) X I (ω) = 0  n=1 1 π 1 π xI (n) = X R (ω)sinωndω xI (n) = X I (ω)cosωndω π ∫0 π ∫0 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 49
  47. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier • Tính đối xứng (tt) – T/h x(n) bất kỳ e o e o x(n) = xR (n) + jxI (n) = xR (n) + xR (n) + j[xI (n) + xI (n)] = xe (n) + xo (n)  e e 1 * xe (n) = xR (n) + jxI (n) = 2 [x(n) + x (−n)] trong đó  o o 1 * xo (n) = xR (n) + jxI (n) = 2 [x(n) − x (−n)] e e o o x(n) = [xR (n) + jxI (n)]+ [xR (n) + jxI (n)] e e o o X (ω) = [X R (ω) + jX I (ω)]+ [X R (ω) + jX I (ω)] DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 50
  48. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier • Tuyến tính x (n)←F → X (ω) 1 1 ⇒ a x (n) + a x (n)←F →a X (ω) + a X (ω)  F 1 1 2 2 1 1 2 2 x2 (n)←→ X 2 (ω) – Ví dụ: tìm BĐ Fourier của x(n) sau. Vẽ t/h và phổ của t/h. ∞ ∞ − jωn − jω n X1(ω) = ∑ x1(n)e = ∑(ae ) x(n) = x1(n) + x2 (n) n=−∞ n=0 − jω = < an n ≥ 0 Do ae a 1 x1(n) =  1 ⇒ ω = 0 n < 0 X1( ) − jω  1− ae −n ∞ −1 ∞ a n < 0 ω = − jωn = jω −n = jω k = X 2 ( ) ∑ x2 (n)e ∑(ae ) ∑(ae ) x2 (n)  =−∞ =−∞ =  0 n ≥ 0 n n k 1 Do ae jω = a <1 −1< a <1 ae jω ⇒ ω = X 2 ( ) jω DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số 1− ae ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 51
  49. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier X (ω) = X1(ω) + X 2 (ω) 1− a2 X (ω) = 1− 2a cosω + a2 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 52
  50. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier • Dịch theo thời gian x(n)←F → X (ω) ⇒ x(n − k)←F →e− jωk X (ω) 1 n−3 – Ví dụ: tìm BĐ Fourier của t/h x(n) = 3( 2 ) u(n − 2) 1 x (n) = ( 1 )n u(n)←F → X (ω) = 1 2 1 1 − jω 1− 2 e n−2  1  e− j2ω x (n) = x (n − 2) =   u(n − 2)←F → X (ω) = e− j2ω X (ω) = 2 1 2 1 1 − jω  2  1− 2 e n−2  1  6e− j2ω ⇒ x(n) = 6  u(n − 2) = 6x (n)←F → X (ω) = 6X (ω) = 2 2 1 − jω  2  1− 2 e • Đảo theo thời gian x(n)←F → X (ω) ⇒ x(−n)←F → X (−ω) =−+n 1 − – Ví dụ xn1( ) 3.2 . u ( n ) 1 −+nn11−+ xn23( )= 3.(2 ) . un ( − ) xn( )= 3.2 . un ( −+ 3) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 53
  51. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier • Tổng chập x (n)←F → X (ω) 1 1 ⇒ x(n) = x (n)* x (n)←F → X (ω) = X (ω)X (ω)  F 1 2 1 2 x2 (n)←→ X 2 (ω) – Chú ý: Có thể dùng BĐ Fourier thuận và BĐ Fourier ngược để tính tích chặp • Tương quan x (n)←F → X (ω) 1 1 ⇒ r (m)←F → S (ω) = X (ω)X (−ω)  F x1x2 x1x2 1 2 x2 (n)←→ X 2 (ω) • Định lý Wiener-Khintchine F x(n)thuc ⇒ rxx (l)←→ Sxx (ω) = X (ω)X (−ω) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 54
  52. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier • Dịch theo tần số FFjnω0 xn()← → X (ω ) ⇒ e xn()← → X (ωω − 0 ) • Định lý điều chế FF1 xn()← → X (ω ) ⇒ xn()cosω0 n← →2 [ X()() ωω + 00 + X ωω − ] • Định lý Parseval F ∞ π x1(n)←→ X1(ω) 1  ⇒ x (n)x* (n) = X (ω)X * (ω)dω F ∑ 1 2 π ∫−π 1 2 x2 (n)←→ X 2 (ω) n=−∞ 2 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 55
  53. dce 2011 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier • Nhân 2 chuỗi (định lý cửa sổ) F x1(n)←→ X1(ω)  F x2 (n)←→ X 2 (ω) 1 π ⇒ x (n) = x (n)x (n)←F → X (ω) = X (λ)X (ω − λ)dλ 3 1 2 3 2π ∫−π 1 2 • Đạo hàm miền tần số dX (ω) x(n)←F → X (ω) ⇒ nx(n)←F → j dω • Liên hợp phức x(n)←F → X (ω) ⇒ x* (n)←F → X * (−ω) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 56
  54. dce 2011 Hệ LTI trong miền tần số • H/t nghỉ LTI • Hàm đáp ứng tần số: đáp ứng tần số của t/h mũ phức và t/h sin Miền thời gian x(n) y(n) h(n) h(n): hàm đáp ứng xung đơn vị F Miền tần số x(n) y(n) H(ω) T/h mũ phức H(ω): hàm đáp ứng tần số T/h sin – Đáp ứng tần số của t/h mũ phức: cho x(n) = Aejωn -∞ < n < ∞ ∞ y(n) = x(n)*h(n) = ∑ h(k)x(n − k) k =−∞ ∞ ∞ = ∑ h(k)Ae jω (n−k ) = Ae jωn ∑ h(k)e− jωk k =−∞ k =−∞ = AH (ω)e jωn x(n) = Aejωn là một eigenfunction của h/t H(ω) là eigenvalue tương ứng DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 57
  55. dce 2011 Hệ LTI trong miền tần số Θ ω • Biểu diễn H(ω) ở dạng cực H (ω) = H (ω) e j ( ) • Ta có ∞ ∞ ∞ H (ω) = ∑ h(k)e− jωk = ∑ h(k)cosωk − j ∑ h(k)sinωk k =−∞ k =−∞ k =−∞ = H R (ω) + jH I (ω) −1 2 2 j tan [H I (ω )/ H R (ω )] = H R (ω) + H I (ω)e Trong đó ∞ ω = ω H R ( ) ∑ h(k)cos k hàmchan ω = 2 ω + 2 ω k =−∞ H ( ) H R ( ) H I ( ) hàmchan ω ∞ Θ(ω) = tan −1 H I ( ) hàmle H R (ω ) H I (ω) = − ∑ h(k)sinωk hàmle k =−∞ • Do đó, nếu biết │H(ω)│và Θ(ω) trong khoảng 0 ≤ ω ≤ π thì cũng xác định được trong khoảng –π ≤ ω ≤ 0 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 58
  56. dce 2011 Hệ LTI trong miền tần số • Đáp ứng tần số của t/h sin jωn jΘ(ω) jωn x1(n) = Ae y1(n) = A H (ω) e e − jωn jΘ(−ω) − jωn x2 (n) = Ae y2 (n) = A H (−ω) e e = A H (ω) e− jΘ(ω)e− jωn 1 1 x(n) = Acosωn = 2 [x1(n) + x2 (n)] y(n) = 2 [y1(n) + y2 (n)] = A H (ω) cos[ωn + Θ(ω)] 1 1 x(n) = Asinωn = 2 j [x1(n) − x2 (n)] y(n) = 2 j [y1(n) − y2 (n)] = A H (ω) sin[ωn + Θ(ω)] DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 59
  57. dce 2011 Hệ LTI trong miền tần số • Ví dụ: cho hệ LTI nhân quả, điều kiện đầu bằng 0 T/h nhập x(n) = 3cos(πn/3). Tìm y(n) x(n) 3 y(n) + Z-1 1/2 3 − π π 3 j 6 H (ω) = − ω = = 1 j H ( 3 ) − j π 2 3e 1− 2 e 1 3 1− 2 e π π y(n) = 6 3 cos( 3 n − 6 ) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 60
  58. dce 2011 Hệ LTI trong miền tần số • Đáp ứng cho t/h tuần hoàn N −1 N −1 j 2πk n j 2πk n = N = 2πk N x(n) ∑ck e H(ω) y(n) ∑ck H ( N )e k =0 k =0 – Đáp ứng của t/h tuần hoàn cũng là t/h tuần hoàn chu kỳ N • Đáp ứng cho t/h không tuần hoàn x(n) y(n) h(n) y(n) = x(n)*h(n) F F F X(ω) Y(ω) H(ω) Y(ω) = X(ω)H(ω) jΘ(ω0) Y(ω0) = X(ω0)H(ω0) = │H(ω0)│e X(ω0) Thành phần tần số (ω0) khi đi qua hệ thì: - Biên độ: co/giãn │H(ω0)│ - Pha: lệch pha Θ(ω0) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 61
  59. dce 2011 Hệ LTI trong miền tần số • Quan hệ giữa hàm hệ thống và hàm đáp ứng tần số ∞ ω = = − jωn H ( ) H (z) z=e jω ∑ h(n)e M =−∞ M −k n − jωk ∑bk z ∑bk e k =0 ω = k =0 H (z) = N Hệ ổn định H ( ) N −k − jωk 1+ ∑ ak z 1+ ∑ ak e k =1 M k =1 M jω ∏(z −z k ) ∏(e −z k ) N −M k =1 jω (N −M ) k =1 H (z) = b0 z N H (ω) = b0e N jω ∏(z − pk ) ∏(e − pk ) k =1 k =1 H * (1/ z* ) = H * (ω) H * (1/ z* ) = H (z −1) H * (ω) = H (−ω) 2 H (ω) = H (ω)H * (ω) = H (ω)H (−ω) = H (z)H (z −1) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 62
  60. dce 2011 Hệ LTI trong miền tần số • Tính hàm đáp ứng tần số H(ω) – Biểu diễn dưới dạng cực jω jΘk (ω ) e − zk = Vk (ω)e M jω  ω Φ ω (e −z )  j − = ω j k ( ) ∏ k e pk U k ( )e jω (N −M ) k =1 H (ω) = b0e N jω ∏(e − pk )  V (ω)V (ω) V (ω) k =1 ω = 1 2 M  H ( ) b0  U1(ω)U 2 (ω) U N (ω)  M N ∠H (ω) = ∠b +ω(N − M ) + Θ (ω) − Φ (ω)  0 ∑ k ∑ k  k =1 k =1 – Do đó, có thể tính được H(ω) nếu biết được zero và pole của hàm hệ thống – Ý nghĩa ? DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 63
  61. dce 2011 Hệ LTI trong miền tần số • Tính hàm đáp ứng tần số H(ω) Im(z) Φ (ω) – Cho zero zk và pole pk k Uk L – Xác định H(ω) tại ω (điểm L) V Θ (ω) A x k k – Việc tính H(ω) tương đương việc p k B tính H(z) tại điểm L trên vòng tròn đơn vị zk CL = CA + AL AL = CL – CA C 0 Re(z) CL = CB + BL BL = CL – CB jω jω jΦ (ω) e hoặc pk = CA = − = ω k AL e pk U k ( )e │z│= 1 zk = CB ω Θ ω = j − = ω j k ( ) ejω = CL BL e zk Vk ( )e – Sự hiện diện của zero gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó nhỏ – Ngược lại, sự hiện diện của pole gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó lớn DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 64
  62. dce 2011 Hệ LTI trong miền tần số • Ví dụ: xác định đáp ứng tần số của h/t được mô tả bằng hàm h/t 1 z H (z) = = 1− 0.8z −1 z − 0.8 – Zero tại z = 0 jω e 1 – Pole tại z = 0.8 ω = = H ( ) ω e jω e j − 0.8 1.64 −1.6cosω ω = H ( ) jω e − 0.8 sinω θ (ω) = ω − tan −1 cosω − 0.8 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 65
  63. dce 2011 Hệ LTI trong miền tần số • Hàm tương quan vào-ra và phổ −1 ryy (m) = rhh (m)*rxx (m) S yy (z) = Shh (z)Sxx (z) = H (z)H (z )Sxx (z) ryx (m) = h(m)*rxx (m) S yx (z) = H (z)Sxx (z) z=ejω 2 Phổ mật độ năng lượng S yy (ω) = H (ω) Sxx (ω) 2 Phổ mật độ năng lượng chéo S yx (ω) = H (ω)Sxx (ω) = H (ω) X (ω) π π 1 1 2 = = ω ω = ω ω ω Năng lượng tổng Ey ryy (0) ∫ S yy ( )d ∫ H ( ) Sxx ( )d 2π −π 2π −π Nếu t/h nhập có phổ phẳng 1 S yx (ω) = H (ω)Ex H (ω) = S yx (ω) Sxx(ω) = Ex = const khi –π ≤ ω ≤ π Ex 1 Dùng trong việc xác định h(n) của hệ lạ: h(n) = r (m) tác động vào h/t t/h có phổ phẳng yx Ex DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 66
  64. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc – Thiết bị dùng để xử lý tùy theo đặc tính của t/h tác động vào h/t – Ví dụ: bộ lọc không khí, bộ lọc dầu, bộ lọc tia cực tím • Hệ LTI – Y(ω) = H(ω)X(ω) – Thay đổi phổ t/h nhập tùy theo đặc trưng của đáp ứng tần số H(ω) – Hệ LTI được xem là bộ lọc tần số: H(ω) đóng vai trò hàm tác động hoặc hàm chỉnh phổ – Có tác dụng Lowpass • Loại bỏ nhiễu trên t/h filter • Tinh chỉnh hình dạng phổ của t/h • Phân tích phổ t/h Highpass • Phát hiện t/h trong Radar, Sonar, filter • Phân loại bộ lọc Bandpass filter Filter Bandstop filter All-pass filter DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 67
  65. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc |H(ω)| |H(ω)| Lowpass Highpass 1 1 ω ω –π –ωc ωc π –π –ωc ωc π |H(ω)| |H(ω)| Bandpass Bandstop 1 1 ω ω –π –ω0 ω0 π –π –ω0 ω0 π DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 68
  66. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc lý tưởng – Đặc trưng của H(ω) lý tưởng • Biên độ = hằng số A, trong vùng tần số được qua = 0, trong vùng tần số không được qua • Pha tuyến tính ( = -aω, a: hằng số) – Minh họa • T/h x(n) với các thành phần t/s trong khoảng [ω1, ω2] − ω • Hàm đáp ứng tần số Ce j n0 ω < ω < ω H (ω) =  1 2 0 otherwise − jωn0 • Phổ t/h tại ngõ xuấtY (ω) = H (ω)X (ω) = Ce X (ω) (ω1 < ω < ω2 ) • T/h ngõ xuất y(n) = Cx(n-n0) • x(n) khi qua bộ lọc lý tưởng – bị delay: τg(ω) = -dΘ(ω)/dω = n0 (tất cả các thành phần t/s đều bị trễ như nhau) – bị co giãn biên độ – Trong thực tế không hiện thực được tình trạng lý tưởng, mà chỉ là xấp xỉ của nó DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 69
  67. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Thiết kế bộ lọc bằng sơ đồ zero-pole – Bộ lọc số đơn giản nhưng quan trọng – Nguyên lý: đặt các pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị tương ứng với các tần số cần nhấn mạnh (có góc pha bằng tần số được cho qua bộ lọc) và đặt các zero gần các điểm tương ứng với các tần số không muốn – Ràng buộc • Pole bên trong vòng tròn đơn vị (để hệ ổn định). Zero có thể nằm bất kỳ ở đâu trên mpz • Các zero/pole phức phải theo từng cặp liên hợp (để hệ số của bộ lọc là số thực) • Chọn b0 thích hợp để chuẩn hoá đáp ứng tại tần số được cho qua bộ lọc (để │H(ω0)│ = 1, ω0 là tần số trong bandpass của bộ lọc) M M −k −1 ∑bk z ∏(1− zk z ) k =0 k =1 H (z) = N = b0 N + −k −1 1 ∑ ak z ∏(1− pk z ) k =1 k =1 G ≡ b0: độ lợi DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 70
  68. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc thông thấp (lowpass) – Đặt pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị có tần số thấp (ω = 0) – Đặt zero gần hoặc tại các điểm trên vòng tròn đơn vị có tần số cao (ω = π) • Bộ lọc thông cao (highpass) – Tương tự như bộ lọc thông thấp, bằng cách lấy đối xứng các zero/pole qua trục ảo của mpz – Trong biểu thức hàm h/t, thay z bởi –z DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 71
  69. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Ví dụ 1: bộ lọc thông thấp a = 0.9 (lowpass) một pole – Hàm hệ thống 1− a H (z) = 1 1− az −1 – Độ lợi G được chọn (1–a) để biên độ H(z) bằng đơn vị khi ω = 0 – Việc thêm zero = –1 sẽ làm suy giảm đáp ứng của bộ lọc ở tần số cao – Do đó 1− a 1+ z −1 H (z) = 2 2 1− az −1 – │H2(ω)│giảm bằng 0 khi ω = π DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 72
  70. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc thông cao a = 0.9 (highpass) – Có thể đạt được từ bộ lọc lowpass bằng cách thay z bởi –z 1− a 1+ z −1 H (z) = lp 2 1− az −1 z = –z 1− a 1− z −1 H (z) = hp 2 1+ az −1 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 73
  71. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Ví dụ 2: thiết kế bộ lọc lowpass, thoả: – Một điểm pole: p – Một zero tại: 0 – Đáp ứng năng lượng tại tần số đỉnh cho qua (ω=0) bằng 1 – Đáp ứng năng lượng tại tần số ω=π/2 là 0.5 jω z 1 e jω H (z) = G = G z=e H (ω) = G ω z − p 1− pz −1 e j − p 1 2 S (ω) = G 2  G xx − jω jω Sxx (0) = =1 (1− pe )(1− pe )  1− 2 p + p2  2 1 2 = G  π G 1 2 = = 1− 2 p cosω + p Sxx ( 2 ) 2  1+ p 2  p = 2 − 3  (bỏ qua p = 2 + 3 vì hệ không ổn định) G = ± 2(2 − 3) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 74
  72. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc 2(2 − 3) G Sxx (ω) = h(z) = − 1− 2(2 − 3)cosω + (2 − 3)2 1− pz 1 x(n) G y(n) + p z–1 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 75
  73. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Ví dụ 3: xác định các tham số của bộ lọc trong hình 1 để thoả yêu cầu phổ mật độ năng lượng trong hình 2 x(n) G y(n) + 2a z–1 + –a2 z–1 + (Hình 1) (Hình 2) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 76
  74. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc bandpass – Nguyên tắc: được thực hiện tương tự lowpass và highpass – Có một hoặc nhiều cặp pole liên hợp phức gần vòng tròn đơn vị, trong vùng lân cận dải tần số cho phép – Ví dụ 4: thiết kế bộ lọc bandpass thoả: • Tâm của passband = π/2. Đáp ứng tần số tại tâm đó = 1 • Đáp ứng tần số = 0 tại các tần số: 0, π 1 • Đáp ứng biên độ = 2 tại các tần số: 4π/9 ± π j 2 Pole p1,2 = re x(n) A y(n) + + Zero z1,2 = ±1 (z −1)(z +1) z 2 −1 z-1 z-1 H (z) = G = G B D (z − jr)(z + jr) z 2 + r 2 + + π H ( 2 ) =1 G = 0.15 -1 -1  ⇒  z z H ( 4π ) = 1 C E  9 2 r = ± 0.7 1− z −2 H (z) = 0.15 1+ 0.7z −2 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 77
  75. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc 1− z −2 H (z) = 0.15 1+ 0.7z −2 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 78
  76. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Biến đổi đơn giản từ bộ lọc lowpass sang bộ lọc highpass – Tạo bộ lọc highpass bằng cách dịch Hlp(ω) một đoạn π (nghĩa là thay thế ω bởi ω – π Hhp(ω) = Hlp(ω – π) – Trong miền thời gian jπ n n hhp(n) = (e ) hlp(n) = (-1) hlp(n) N M N M k k y(n) = −∑ ak y(n − k) + ∑bk x(n − k) y(n) = −∑(−1) ak y(n − k) + ∑(−1) bk x(n − k) k =1 k =0 k =1 k =0 M M − jωk k − jωk ∑bk e ∑(−1) bk e k =0 k =0 Hlp (ω) = N H hp (ω) = N − jωk k − jωk 1+ ∑ ak e 1+ ∑(−1) ak e k =1 k =1 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 79
  77. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Bộ cộng hưởng số – Bộ lọc bandpass 2 pole liên hợp phức gần vòng tròn đơn vị – Vị trí góc của pole xác định tần số cộng hưỏng ±jω0 – Chọn pole liên hợp phức p1,2 = re (0 < r < 1) – Có thể chọn thêm tối đa 2 zero • Hoặc zero tại gốc tọa độ • Hoặc zero tại ±1 • Cho phép loại bỏ các đáp ứng của bộ lọc tại ω = 0 hoặc ω = π – Giả sử zero được chọn tại gốc b0 H (z) = ω − − ω − (1− re j 0 z 1)(1− re j 0 z 1) • Do |H(ω)| có đỉnh tại (hoặc gần) ω = ω0, nên b0 H (ω0 ) = ω − ω − ω − ω =1 (1− re j 0 e j 0 )(1− re j 0 e j 0 ) 2 b0 = (1− r) 1+ r − 2r cos 2ω0 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 80
  78. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Phổ biên độ và phổ pha trong trường hợp ω0 = 1 j p1 = re r ω0 –ω0 r –j p2 = re • SV khảo sát trường hợp zero được chọn tại ±1 và so sánh phổ biên độ và phổ pha với trường hợp zero tại 0 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 81
  79. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc khe V (notch) ω0 = π/4 – Chứa một hoặc nhiều khe sâu, có đáp ứng tần số bằng 0 – Đặt một cặp zero liên hợp phức trên vòng tròn đơn vị, tại góc ω0, tức ± jω0 z1,2 = e – Hàm h/t jω0 −1 − jω0 −1 H (z) = b0 (1− e z )(1− e z ) −1 −2 = b0 (1− 2cosω0 z + z ) – Nhược điểm • Khe có độ rộng khá lớn • Thành phần tần số xung quanh ω0 bị suy hao • P/p khắc phục: ad-hoc (nhiều p/p khác được trình bày ở chương 8) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 82
  80. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • P/p khắc phục bộ lọc notch – Đặt cặp pole liên hợp phức tại ω0 để cộng hưởng trong vùng lân cận ω 0 ± jω0 p1,2 = re – Hàm h/t ω = π/4 1− 2cosω z −1 + z −2 0 = 0 H (z) b0 −1 2 −2 1− 2r cosω0 z + r z – Nhược điểm: • Ngoài việc giảm băng thông của khe, pole cũng tạo ra các lăn tăn (ripple) trong bandpass của bộ lọc (do việc cộng hưởng) • Khắc phục ripple bằng cách thêm zero và/hoặc pole → thử và sai DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 83
  81. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc răng lược (comb) – Là bộ lọc notch với các khe xuất hiện tuần hoàn – Hàm h/t M M −k − jkω H (z) = ∑ h(k)z z=ejω H (ω) = ∑ h(k)e k =0 k =0 – Thay z bằng zL (L>0) M M − − ω kL jω jkL H L (z) = ∑ h(k)z z=e H L (ω) = ∑ h(k)e = H (Lω) k =0 k =0 – Đáp ứng tần số HL(ω) chính là việc lặp bậc L của đáp ứng tần số H(ω) trong khoảng [0, 2π] • Nếu H(ω) có một phổ không tại tần số ω0 nào đó, HL(ω) sẽ có các phổ không răng lược tại ωk = ω0+2πk/L (k=0, 1, 2, , L-1) H(ω) H4(ω) ω ω -2π 2π π/2 π 3π/2 2π DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 84
  82. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc 1 M • Ví dụ: bộ lọc trung bình y(n) = ∑ x(n − k) M +1 k =0 − jωM / 2 M +1 M −(M +1) e sinω( 2 ) 1 −k 1 1− z H (ω) = H (z) = z = jω ω ∑ −1 z=e M +1 sin 2 M +1 k =0 M +1 1− z j2πk /(M +1) ω = 2πk /(M +1) zk = e k =1,2,3, , M k − −L(M +1) − jωLM / 2 M +1 1 1 z e sin Lω( 2 ) H L (z) = H (ω) = + − −L L Lω M 1 1 z M +1 sin 2 M=10 M=10 & L=3 x(n) z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 h(0) h(1) h(2) h(3) + + + L=3 & M=3 y(n) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 85
  83. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc Allpass – |H(ω)| = 1 (0 ≤ ω ≤ π) – Loại đơn giản nhất: H(z) = z–k N – Loại khác −N +k ∑ ak z k =0 H (z) = N a0 ≡1,ak real −k ∑ ak z N k =0 −1 −k −N A(z ) A(z) = ∑ ak z a0 ≡1 H (z) = z k =0 A(z) • Nếu z0 là pole của H(z), thì 1/z0 là zero của H(z) –1 (r ,ω0) (r,ω0) ω0 –ω 0 a 1 a-1 0 0 (r,–ω0) –1 (r ,–ω0) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 86
  84. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc −1 2 −1 −2 a + z r + 2r cosω0 z + z = H (z) = H1(z) −1 2 −1 2 −2 1+ az 1− 2r cosω0 z + r z a = 0.6 r = 0.9 ω0 = π/4 θ2(ω) θ1(ω) DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 87
  85. dce 2011 Hệ LTI và bộ lọc • Bộ dao động sin số – Bộ cộng hưởng 2 pole, trong đó các pole nằm trên vòng tròn đơn vị b a1 = −2r cosω0 = 0 H (z) −1 −2  2 1+ a1z + a2 z a2 = r n ± jω b r = 0 0 – Pole p1,2 re và đáp ứng xung đơn vị h(n) = sin(n +1)ω0u(n) sinω0 – Nếu pole nằm trên vòng tròn đơn vị: r = 1 và b0 = Asinω0 h(n) = Asin(n +1)ω0u(n) x(n)=(Asinω0)δ(n) y(n)=Asin(n+1)ω0 + z-1 y(n) = –a y(n–1) – a y(n–2) + b δ(n) –a1 1 2 0 + z-1 a1= –2cosω0 –a 2 a2= 1 DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 88