Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 4: Đồ thị phẳng

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 4: Đồ thị phẳng

1. ĐỒ THỊ PHẲNG ntsonptnk@gmail.com
2. NỘI DUNG Đồ thị phẳng Định nghĩa Các phép rút gọn cơ bản Định lý Kuratowsky Công thức Euler Tô màu đồ thị Lý thuyết đồ thị , chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 2
3. ĐỒ THỊ PHẲNG Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 3
4. ĐỊNH NGHĨA Đồ thị vô hướng G được gọi là phẳng nếu tồn tại một cách vẽ G trong mặt phẳng sao cho không có hai cạnh nào của G cắt nhau. Khi G là một đồ thị phẳng thì mỗi cách vẽ G trong mặt phẳng sao cho không có hai cạnh nào của G cắt nhau được gọi là một biểu diễn phẳng của G. Hai cạnh chung đỉnh được qui ước là không cắt nhau Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 4
5. VÍ DỤ G1 là đồ thị phẳng. G2, G3 là các biểu diễn phẳng của G1 A A A C D C D B C B D G3 G1 B G2 Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 5
6. ĐỒ THỊ ĐỒNG PHÔI Các PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG PHÔI: Thêm 1 đỉnh nằm trên một cạnh Gộp 2 cạnh chung đỉnh bậc 2 thành 1 cạnh ĐỒ THỊ ĐỒNG PHÔI: Hai đồ thị được gọi là đồng phôi nếu mỗi đồ thị có được từ đồ thị kia bằng cách thực hiện một dãy các phép biến đổi đồng phôi Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 6
7. VÍ DỤ Các đồ thị đồng phôi Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 7
8. ĐỊNH LÝ Nếu G là đồ thị phẳng thì ta có thể tìm được đồ thị G1 đồng phôi với G và G1 có biểu diễn phẳng với các cạnh là các đoạn thẳng. Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 8
9. CÁC PHÉP RÚT GỌN CƠ BẢN Tính phẳng của một đồ thị không thay đổi nếu thực hiện một hay nhiều lần các phép rút gọn sau đây: Bỏ đi các khuyên Bỏ bớt các cạnh song song, chỉ giữ lại một cạnh nối hai đỉnh. Gộp hai cạnh có chung đỉnh bậc 2 thành một cạnh. Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 9
10. VÍ DỤ Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 10
11. ĐỊNH LÝ KURATOWSKY 1. Đồ thị đủ K5 không phẳng 2. Đồ thị lưỡng phân đủ K3,3 không phẳng Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 11
12. ĐỊNH LÝ KURATOWSKY K5 và K3,3 là các đồ thị không phẳng đơn giản nhất theo nghĩa: Xóa bất kỳ đỉnh hoặc cạnh của các đồ thị trên sẽ nhận được đồ thị phẳng K5 là đồ thị không phẳng ít đỉnh nhất. K3,3 là đồ thị không phẳng ít cạnh nhất Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 12
13. ĐỊNH LÝ KURATOWSKY 3. Điều kiện cần và đủ để một đồ thị liên thông G có tính phẳng là G không chứa bất kỳ đồ thị con nào đồng phôi với K5 hay K3,3. 2 6 6 3 1 1 7 7 8 8 4 5 5 Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 13
14. VÍ DỤ 1 1 2 6 2 3 6 4 1 4 5 7 2 6 5 7 3 1 4 7 4 5 7 5 2 6 Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 14
15. CÔNG THỨC EULER Định lý: G là đồ thị phẳng, liên thông gồm n đỉnh, e cạnh. Giả sử biểu diễn phẳng của G chia mặt phẳng ra làm f vùng, ta có công thức (công thức Euler): f = e - n + 2 Hệ quả: Nếu G là đồ thị đơn, phẳng, liên thông, gồm n đỉnh và e cạnh (với e > 2). Giả sử biểu diễn phẳng G chia mặt phẳng ra thành f vùng. Ta có: e (3/2)f e 3n - 6 Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 15
16. VÍ DỤ Chứng minh tính không phẳng của K5: K5 là đồ thị đơn và liên thông có n=5 và e=10, ta có e=10 > 9=3n-6 do đó K5 không phẳng Lưu ý: K3, 3 là đồ thị đơn, liên thông có n=6 và e=9 thỏa e 3n – 6 nhưng không phẳng. Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 16
17. TÔ MÀU ĐỒ THỊ Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 17
18. ĐỊNH NGHĨA Phép TÔ MÀU ĐỒ THỊ là một cách gắn cho mỗi đỉnh của đồ thị bằng một màu sao cho 2 đỉnh kề nhau phải có màu khác nhau. SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ G, ký hiệu (G), là số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho tồn tại một phép tô màu G chỉ sử dụng k màu. Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 18
19. VÍ DỤ (G) = 4 Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 19
20. TÍNH CHẤT 1. Nếu đồ thị G có chứa ít nhất một cạnh không phải là khuyên thì (G) 2. 2. Đồ thị đủ N đỉnh KN có sắc số là N. Nếu đồ thị G chứa một đồ thị con đẳng cấu KR thì (G) R. 3. Nếu đồ thị G là một chu trình sơ cấp N đỉnh thì: (G)= 2 nếu N chẳn, (G)= 3 nếu N lẻ; (G)= (N mod 2) + 2. Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 20
21. ĐỊNH LÝ 1. Nếu T là một cây N đỉnh với N 2 thì (T)= 2. 2. G là đồ thị liên thông có ít nhất 1 cạnh. Khi đó (G)=2 khi và chỉ khi G không chứa chu trình sơ cấp có số cạnh lẻ. 3. Đồ thị G=(X, E). Gọi dmax(G)=max{d(x)/x X}. Ta có: (G) d max(G)+1. Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 21
22. GIẢI THUẬT GẦN ĐÚNG //Giải thuật tham lam tô màu đồ thị Input: G(X, E) Output: đồ thị được tô màu 1.Xác định bậc các đỉnh trong đồ thị; khởi động color = 1; 2.Lặp trong khi còn đỉnh chưa được tô màu 1. Tô màu tất cả các đỉnh có thể tô được bằng màu color theo thứ tự ưu tiên bậc từ cao đến thấp 2. color = color + 1 Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 22
23. TÔ MÀU ĐỒ THỊ PHẲNG Giả thiết 4 màu: “Mọi bản đồ đều có thể tô bằng 4 màu sao cho hai nước nằm kề nhau phải được tô bằng hai màu khác nhau” (De Morgan, 10/1852). Mọi đồ thị phẳng đều có thể tô được bằng nhiều nhất 4 màu ??? Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 23
24. BÀI TẬP Cho đồ thị G: 1 3 5 7 2 4 6 8 1. Xét tính phẳng của G 2. Tô màu G Lý thuyết đồ thị - chương 4 - Nguyễn Thanh Sơn 24