Bài giảng Cơ sở viễn thông - Phạm Văn Tấn

200 trang ngocly 1780

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ sở viễn thông - Phạm Văn Tấn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_co_so_vien_thong_pham_van_tan.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở viễn thông - Phạm Văn Tấn

CƠ SỞ VIỄN THƠNG PHẠM VĂN TẤN
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Chương I TIN TỨC VÀ HỆ THỐNG THƠNG TIN • LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CƠNG NGHỆ VIỄN THƠNG ĐIỆN TỬ. • PHÂN LOẠI CÁC NGUỒN TIN TỨC VÀ CÁC HỆ THỐNG THƠNG TIN. • SĨ NG XÁC ĐỊNH VÀ SĨNG NGẪU NHIÊN. • SƠ ĐỒ KHỐI MỘT HỆ VIỄN THƠNG. • SỰ PHÂN CHIA CÁC VÙNG TẦN SỐ (FREQUENCY ALLOCATIONS). • SỰ TRUYỀN SĨNG ĐIỆN TỪ. • SỰ ĐO TIN TỨC. • CÁC HỆ THƠNG TIN LÝ TƯỞNG. • MÃ HĨA (CODING). Trang I.1
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CƠNG NGHỆ VIỄN THƠNG ĐIỆN TỬ. - Từ cuối thế kỹ 18 đầu thế kỹ 19, cơng nghệ phát thanh và truyền thơng bằng điện đã được phát triển. - Năm 1820, George Ohm đã đưa ra cơng thức phương trình tốn học để giải thích các tín hiệu điện chạy qua một dây dẫn rất thành cơng. - Năm 1830 Michall Faraday đã tìm ra định luật dẫn điện từ trường. - Cĩ thể coi lịch sử thơng tin dữ liệu được bắt đầu vào năm 1937 với sự phát minh điện tín Samuel F. B.Morse. Đĩ là hệ thống truyền các xung điện biểu diễn cho các dấu chấm và vạch (tương đương với các số nhị phân 1, 0) trên các đường dây đồng nhờ các máy cơ điện. Các tổ hợp khác nhau của các mã này thay cho các chữ, số, dấu, được gọi là mã Morse. - Năm 1840, Morse đăng ký sáng kiến về điện tín ở Mỹ. - Năm 1844 đường đây điện tín đầu tiên được thiết lập giữa Baltimore và Washington DC. - Năm 1849, bản tin đầu tiên được in ra nhưng với vận tốc rất chậm nhưng đến năm 1860 vận tốc in đạt 15 bps. - Năm 1850, đại số Boole của George Boole tạo ra nền mĩng cho logic học và phát triển rờ le điện. Trong khoảng thời gian gian này, các đường cáp đầu tiên xuyên qua đại tây dương để lắp đặt hệ thống điện tín. - James Clerk Maxwell đã đưa ra học thuyết điện từ trường bằng các cơng thức tốn học vào năm 1980. Căn cứ vào các học thuyết này Henrich Hertz đã truyền đi và nhận được sĩng vơ tuyến thành cơng bằng cách dùng điện trường lần đầu tiên trong lịch sử. - Tổng đài điện thoại đầu tiên được thiết lập vào năm 1876 (ngay sau khi Alexander Grâhm Bell đã phát minh ra điện thoại). Năm năm sau Bell bắt đầu dịch vụ gọi đường dài giữa New York và Chocago. Cùng khoảng thời gian đĩ, Guglieno Marconi của Italia đã lắp đặt một trạm phát sĩng vơ tuyến để phát các tín hiệu điện tín. - Năm 1900, Einstein, một nhà vật lý nổi tiếng về học thuyết tương đối đã viết rất nhiều tài liệu quan trọng về vật lý chất rắn, thống kê học, điện từ trường và cơ học lượng tử. Vào khoảng thờigian này, phịng thí nghiệm Bell của Mỹ đã phát minh và sáng chế ra ống phĩng điện cực cho các kính thiên văn xoay được. Tiếp theo đĩ, Le De Forest trở thành nguươì khởi xướng trong lĩnh vực vi mạch điện tử thơng qua phát minh của ơng về một ống chân khơng ba cực. Lúc này, hệ thống tổng đài tương tự tự động cĩ khả năng hoạt động khơng cần bảng chuyển mạch. - Năm 1910, Erwin Schrodinger đã thiết lập nền tảng cho cơ học lượng tử thơng qua cơng bố của ơng về cân bằng sĩng đẻ giải thích cấu tạo nguyên tử và các đặc điểm của chúng. Vào khảng thời gian này, phát thanh cơng cộng được bắt dầu bằng cách phát sĩng. - Năm 1920, Harold .S. Black của phịng thí nghiệm Bell đã phát minh ra một máy khuếch đại phản hồi âm bản mà ngày nay vẫn cịn dùng trong lĩnh vực viễn thơng và cơng ngệ máy điện đàm. - V.K.Zworykin (Mỹ) đã phát minh ra đèn hình cho vơ tuyến truyền hình và cáp đồng trục (phương tiện truyền dẫn hiệu quả hơn các dây đồng bình thường). - Cuối những năm 1940, phịng thí nghiệm Bell đã đặt ra nền mĩng cho cho các chất bán dẫn cĩ độ tích hợp cao. Howard Aiken của đại học Harward cộng tác với IBM đã thành cơng trong việc lắp đặt một máy điện tốn đầu tiên cĩ kích thước 50 feets và 8 feets. Và sau đĩ, J.Presper Ecker với Jonh Mauchly của đại chọc Pénnylvania đã phát triển máy điện tốn lên một bậc gọi là máy điện tốn ENIAC. Von Neuman dựa vào đây để phát triển máy điện tốn cĩ lưu giữ chương trình. - Vào những năm 1960, các loại LSI (Large Scale Interated), các máy điện tốn mini, cáp quang và máy phân chia thời gian được phát triển và thương mại hố thành cơng. - Vào những năm 1970, truyền hình ảnh qua vệ tinh, các hệ thống tổng đài điện tử cũng lần lượt ra đời. Trang I.2
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Phân loẠi các nguỒn tin tỨc và các hỆ thỐng thơng tin. - Một nguồn tin digital ( digital information sourse ) tạo ra 1 tập hợp hữu hạn các bản tin ( Message ) cĩ thể. Ví dụ : Máy đánh chữ ; cĩ một số hữu hạn các ký tự ( bản tin ) được phát ra từ nguồn này. - Một nguồn tin tức analog tạo ra các bản tin được xác định liên tục. Ví dụ một micro: Điện thế ra diễn tả tin tức về âm thanh và nĩ được phân bố trên một dãy liên tục nhiều trị giá. - Hệ thống thơng tin digital chuyển tin tức từ một nguồn digital đến thiết bị thu ( Sink ). - Hệ thống thơng tin analog chuyển tin tức từ một nguồn analog đến Sink. Nĩi một cách chặt chẽ, sĩng digital được định nghĩa như là một hàm theo thời gian và chỉ cĩ một tập hợp các trị giá rời rạc. Nếu dạng sĩng digital là dạng sĩng nhị phân, thì chỉ cĩ hai trị giá. Dạng sĩng analog là một hàm theo thời gian cĩ khoảng các trị giá liên tục. Một hệ thống thơng tin digital điện tử thường cĩ các điện thế và dịng điện với dạng sĩng digital. Tuy nhiên, nĩ vẫn cĩ thể cĩ các dạng sĩng analog. Thí dụ, tin tức từ một nguồn nhị phân cĩ thể phát đến sink bằng cách dùng một sĩng sin 1000Hz để diễn tả bit 1 và một sĩng sin 500Hz để diễn tả bit 0. Ở đây nguồn tin tức digital được phát đến sink bằng cách dùng các sĩng analog, nhưng vẫn cứ gọi là hệ thống viễn thơng digital. Xa hơn nữa, sĩng analog này được gọi là tín hiệu digital vì nĩ mơ tả 1 nguồn tin digital. Tương tự, một tín hiệu analog mơ tả một nguồn tin analog . Từ quan điểm đĩ ta thấy một kỹ sư Viễn thơng digital cần hiểu làm sao để phân tích các mạch analog cũng như các mạch digital. Viễn thơng digital cĩ những lợi điểm: - Các mạch digital tương đối rẻ cĩ thể được dùng. - Khoảng tác động lớn hơn. ( Khoảng giữa các trị lớn nhất và nhỏ nhất ). - Dữ liệu từ tiếng nĩi, hình và các nguồn dữ liệu khác cĩ thể được trộn lẫn và truyền đi trên cùng một hệ truyền digital. - Trong các hệ truyền với khoảng cách xa, nhiễu khơng chồng chất từ repeater đến repeater. ( Trạm phát lại ). - Sai số trong dữ liệu được phân tích thì nhỏ, dù khi cĩ một lượng nhiễu lớn trên tín hiệu thu được. - Nhiễu cĩ thể được sửa chữa ( corrected ) bằng cách dùng sự mã hĩa. Nhưng nĩ cũng cĩ những bất lợi: - Thơng thường, nĩ cần một hệ rộng dãy tần ( Band width ) lớn hơn hệ analog. - Cần đến sự đồng bộ hĩa. Với nhiều ưu điểm, các hệ digital trở nên ngày càng phổ biến. Sĩng xác đỊnh và sĩng ngẪu nhiên. Trong các hệ Viễn thơng, ta phân các dạng sĩng làm hai loại lớn: Xác định và Ngẫu nhiên. - Định nghĩa: Một dạng sĩng xác định cĩ thể được mơ hình hĩa như một hàm hồn tồn riêng biệt của thời gian. Thí dụ: Nếu w(t) = A cos ( ω0t + ϕo ) Diễn tả một dạng sĩng , với A, ω0 , ϕo là các hằng đã biết. Thì dạng sĩng w(t) được nĩi là được xác định. - Định nghĩa: Một dạng sĩng ngẫu nhiên khơng thể được chuyên biệt hĩa hồn tồn như là nột hàm theo thời gian và phải mơ hình hĩa 1 cách xác xuất. Các dạng sĩng biểu diễn một nguồn khơng thể xác định được. Thí dụ, trong hệ viễn thơng digital, ta cĩ thể gửi tin tức ứng với bất kỳ một mẫu tự nào - Mỗi mẫu tự được biểu diễn bằng một dạng sĩng xác định. Nhưng khi ta xét dạng sĩng được phát từ nguồn ta thấy rằng đĩ là dạng sĩng ngẫu nhiên, vì ta khơng biết chính xác những ký tự sẽ được phát. Trang I.3
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Do đĩ, ta thực sự cần thiết kế hệ viễn thơng dùng dạng sĩng ngẫu nhiên và tất nhiên bất kỳ nhiễu nào được đưa vào sẽ cũng được mơ tả bằng một dạng sĩng ngẫu nhiên. Kỹ thuật này cần đến những khái niệm vể xác suất và thống kê. ( Sẽ làm việc phân tích và thiết kế phức tạp hơn ). Nhưnng may thay , nếu ta trình bày tín hiệu bằng dạng sĩng “ tiêu biểu “ xác định, thì ta vẫn cĩ thể được hầu hết, nhưng khơng tất cả các kết quả. Sơ ĐỒ KHỐI MỘT HỆ THỐNG VIỄN THƠNG. Hình 1.1 Sơ đồ khối của một hệ thống viễn thơng. Chủ đích một hệ Viễn thơng là truyền một tin tức từ nguồn, ký hiệu là s(t), đến Sink. Tin tức lấy ra từ Sink ký hiệu là ~s (t); tin tức cĩ thể là digital hay analog, tùy vào hệ được dùng. Nĩ cĩ thể là tin tức về Video, audio hay vài loại khác. Trong các hệ multiplex ( đa hợp ), cĩ thể sẽ cĩ nhiều nguồn vào và nhiều Sink. Phổ của s(t) và ~s (t) tập trung quanh f = 0. Chúng được gọi là những tín hiệu băng gốc ( base band ). Khối xử lý tín hiệu: Ở máy phát tùy điều kiện nguồn sao cho sự truyền cĩ hiệu quả. Thí dụ: Trong 1 hệ digital, nĩ là một vi xử lý. Trong hệ analog, nĩ khơng gì hơn là 1 lọc hạ thơng. Trong hệ lai, nĩ là mạch lấy mẫu tin tức vào ( analog ) và digital - hĩa để cĩ một biến điệu mã xung ( Pulse code modulation ) PCM. Tín hiệu ra của khối XLTH ở máy phát cũng là tín hiệu băng gốc vì các tần số tập trung gần f = 0. Khối sĩng mang: Ở máy phát đổi tín hiệu băng gốc đã xử lý thành một băng tần để truyền đưa vào kênh truyền. Thí dụ: Nếu kênh gồm một cặp dây xoắn ( twisted - pair ) telephone, phổ của sm(t) sẽ nằm trong dãy âm tần ( audio ), từ 300 -> 3.700Hz. Nhưng nếu kênh gồm cáp quang, phổ của sm(t) sẽ là tần số ánh sáng. - Nếu kênh truyền đi những tín hiệu băng gốc, khơng cần dùng khối sĩng mang và sm(t) cĩ thể là tín hiệu ra của khối XLTH. - Khối sĩng mang thì cần khi kênh cĩ thể chỉ truyền các tần số thuộc 1 băng xung quanh fc , với fc >> 0. Trong trường hợp này sm(t) được gọi là tín hiệu dãy thơng ( Band pass Signal ). Vì nĩ được thiết kế để cĩ những tần số thuộc 1 băng quanh fc. Thí dụ, một đài phát biến điệu AM với một tần số kết hợp 850 KHz cĩ sĩng mang fc = 850 KHz. Sự áp tín hiệu băng gốc dạng sĩng s(t) thành tín hiệu dãy thơng sm(t) được gọi là sự biến điệu ( modulation ). ( s(t) là tín hiệu audio trong đài phát AM ). Tín hiệu dãy thơng bất kỳ cĩ dạng: sm(t0 = s (t) cos [ ωc(t) + θ(t) ] Với ωc = 2πfc, fc là tần số sĩng mang. Nếu s(t) = 1 và θ(t) = 0 thì sm(t) sẽ là một tín hiệu hình sin thuần túy với f = fc và băng tần bằng 0. Trang I.4
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Trong sự biến điệu bởi mạch sĩng mang, sĩng vào s(t) làm cho R (t) và/hoặc θ(t) thay đổi như là một hàm của s(t). Sự thay đổi trong R (t) và θ(t) làm cho sm(t) cĩ một khổ băng phụ thuộc vào những tính chất của s(t0 và vào hàm áp được dùng để phát ra R (t) và θ(t). Các kênh truyền: Cĩ thể phân chia làm 2 loại: dây mềm ( softwire ) và dây cứng (hardwire). Vài loại kênh dây mềm tiêu biểu như: Khơng khí, chân khơng và nước biển. Vài loại kênh truyền dây cứng: Cặp dây xoắn telephone, cáp đồng trục, ống dẫn sĩng và cáp quang. Một cách tổng quát, kênh truyền làm giảm tín hiệu, nhiễu của kênh truyền và / hoặc nhiễu do máy thu khiến cho ~s (t) bị xấu đi so với nguồn. Nhiễu của kênh cĩ sự gia tăng từ nguồn điện, dây cao thế, sự đánh lửa hoặc nhiễu do sự đĩng ngắt của một computer. Kênh cĩ thể chứa bộ phận khuếch đại tác động, thí dụ: Hệ thống repeater trong telephone hoặc như vệ tinh tiếp chuyển trong hệ thống viễn thơng trong khơng gian. Dĩ nhiên, các bộ phận này cần thiết để giữ cho tín hiệu lớn hơn nhiễu. Kênh cũng cĩ thể cĩ nhiều đường ( multiple paths ) giữa input và output và chúng cĩ thời gian trễ ( time delay ), tính chất giảm biên ( attenuation ) khác nhau. Những tính chất này cĩ thể thay đổi theo thời gian. Sự thay đổi này làm thay đổi bất thường ( fading ) tín hiệu ở ngõ ra của kênh. ( Ta cĩ thể quan sát sự fading khi nghe khi nghe 1 đài sĩng ngắn ở xa ). Máy thu nhận tín hiệu ở ngỏ ra của kênh và đổi nĩ thành tín hiệu băng gốc. SỰ phân chia các vùng tẦN sỐ (Frequency Allocations). Trong các hệ thơng tin dùng khơng khí làm kênh truyền, các điều kiện về giao thoa và truyền sĩng thì phụ thuộc chặt chẽ vào tần số truyền. Về mặt lý thuyết, bất kỳ một kiểu biến điệu nào (Am, Fm, một băng cạnh - single sideband, phase shift keying, frequency shift keying ) đều cĩ thể được dùng cho bất kỳ tần số truyền nào. Tuy nhiên, theo những qui ước quốc tế, kiểu biến điệu độ rộng băng, loại tin được truyền cần được xếp đặt cho từng băng tần. Bảng sau đây cho danh sách các băng tần, ký hiệu, điều kiện truyền và cơng dụng tiêu biểu của chúng. Băng tần Ký hiệu Đặt tính truyền Những ứng dụng tiêu biểu 3 - 30KHz VLF Sĩng đất. Suy giảm ít ngày Thơng tin dưới nước very low và đêm. Nhiểu khơng khí frequency cao 30- 300KHz LF Tương tự VLF. Ít tin cậy. Bị Hướng dẫn radio cho hải low frequency hấp thu vào ban ngày hành 300- MF Sĩng đất và sĩng trời ban Radio hàng hải. Tần số cấp 3000KHz Medium đêm. Suy giảm ít vào ban và cứu phát sống Am frequency nhiểu vào ban ngày. Nhiểu khơng khí 3 - 30MHz HF Sự phản xạ ở tần ion cần radio nghiệp dư. Phát thanh Hight frequency thay đổi theo thời gian trong quốc tế. Viễn thơng quân sự. ngày, theo mùa và theo tần Thơng tin đường dài cho số. Nhiểu khơng khí ít tại khơng hành và hải hành. 30Mhz Điện thoại, điện tín, fax. 30- 300MHz VHF Gần với LOS. Sự tán xạ gây Truyền hình VHF. Radio Very high bởi những thay đổi nhiệt độ. FM stereo. Trợ giúp khơng frequency Nhiễu khơng gian. hành. 0.3 - 3 GHz UHF Truyền LOS. Nhiễu khơng Truyền hình VHF. Radio Ultra high gian. FM Stereo. Trợ giúp khơng 1.0 - 2.0 GHz frequency hành. 2.0 - 4.0 GHz L S 3 - 30 GHz SHF Truyền LOS. Suy giảm do Viễn thơng vệ tinh. Radar Trang I.5
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Băng tần Ký hiệu Đặt tính truyền Những ứng dụng tiêu biểu Supper high Oxi và hơi nước trong khơng microwave links. frequency khí. Sự hấp thụ do hơi nước rất cao tại 2 - 4.0 S 22.2 GHz 4.0 - 8.0 C 8.0 - 12.0 X 12.0 - 18.0 KU 18.0 - 27.0 K 27.0-40.0 Ka 30 - 300 GHz EHF Tương tự trên. Hơi nước hấp Radar, vệ tinh, thí nghiệm. Extremely high thụ rất mạnh tại 183GHz. frequency Oxy hấp thu tại 60 và 119 GHz . 26.5 - 40 R 33.0 - 50.0 Q 40.0 - 75.0 V 75.0 - 110.0 W 110 - 300 Mm 103 - 107 IR (Hồng ngoại Truyền LOS Viễn thơng quang ) ánh sáng khả kiến và UV ( Tử ngoại ) SỰ truyỀn sĩng điỆn tỪ. Các đặc tính truyền của sĩng điện từ được truyền trong kênh truyền dây mềm thì phụ thuơc nhiều vào tần số. Điều này được thấy từ bảng kê ở trên. Phổ điện từ cĩ thể được chia làm 3 băng lớn: Sĩng mặt đất ( Ground ware ), sĩng trời ( Sky ware ) và sĩng truyền theo đường tầm mắt ( light of sight ) LOS. Sự truyền tín hiệu (signal propagation) Anten phát Anten thu (Transmit antenna) (Recieve antenna) The Earth a. Truyền sĩng đất ` Ion cầu Sự truyền tín hiệu (signal propagation) Anten thu Anten phát The Earth (Recieve antenna) (Transmit antenna) b. Truyền sĩng trời Trang I.6
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Sự truyền tín hiệu (signal propagation) Anten phát Anten thu (Transmit antenna) (Recieve antenna) The Earth c. Truyền theo đường tầm mắt Hình 1.2: sự truyền sĩng điện từ. 1. Tần số của sĩng đất nhỏ hơn 2 MHz. Ở đây sĩng điện từ cĩ khuynh hướng truyền theo chu vi trái đất. Kiểu truyền này được dùng trong các đài AM. Ở đấy sự phủ sĩng địa phương theo đường cong mặt đất và tín hiệu truyền trên đường chân trời thấy được. Câu hỏi thường được đặt ra: “ Tần số thấp nhất của sĩng cĩ thể dùng là bao nhiêu ? Câu trả lời là tần số này tùy thuộc vào chiều dài của anhten phát. Để sự bức xạ cĩ hiệu quả, antenna cần dài hơn 1/10 bước sĩng. Ví dụ: Với sĩng mang fC = 10KHz, bước sĩng là: C λ = fC λ = ( 3.108m/s )/104Hz = 3.104 m Như vậy, một anten dài ít nhất 3.000m để bức xạ cĩ hiệu quả một sĩng điện từ 10KHz! 2. Khoảng tần số của sĩng trời là 2 đến 30 Mhz. Sự truyền của sĩng này dựa vào sự phản xạ tầng ion ( ion sphere - tầng điện ly ) và mặt đất. Nhờ đĩ, cĩ thể truyền một khoảng rất xa. Tầng ion cĩ biểu đồ phân bố như sau: Hình 1.3: Biểu đồ phân bố tầng ion Sự ion hĩa xãy ra do sự kích thích các phân tử khí bởi các bức xạ vũ trụ từ mặt trời. Tầng ion gồm các lớp E, F1, F2, D. Lớp D chỉ hình thành vào ban ngày và là lớp chủ yếu hấp thụ sĩng trời. Lớp F là lớp chính, làm phản xạ sĩng trời về trái đất. Thực tế, sự khúc xạ từng bậc qua các lớp của tầng ion khiến tầng này tác dụng như một vật phản xạ làm sĩng trời bị phản xạ trở lại trái đất. Trang I.7
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Hình 1.4: Sự phản xạ sĩng trời bở tầng ion. Chỉ số khúc xạ n thay đổi theo độ cao của tầng ion, vì mật độ electron tự do thay đổi. 81n n = 1− f 2 Trong đĩ: N: Mật độ electron tự do ( số e-/m3 ). f: tần số của sĩng (Hz). - Dưới vùng ion hĩa, n = 1 - Trong vùng ion hĩa, n 0 ) Sĩng bị khúc xạ theo định luật Snell: nsinϕr = sinϕi Trong đĩ: ϕI : Gĩc đến ϕr: Gĩc khúc xạ. a. Với những sĩng cĩ tần số f f2 nên n trở nên ảo. Tầng ion sẽ làm giảm sĩng đến. b. Với những sĩng cĩ tần số từ 2 - 30 MHz ( Sĩng trời ), sự truyền sĩng, gĩc phản xạ và sự hao hụt tín hiệu tại một điểm phản xạ ở tầng ion tùy thuộc vào f, vào thời gian trong ngày, theo mùa và sự tác động của vết đen mặt trời. Ban ngày, N rất lớn làm n ảo. Sĩng bị hấp thu, cĩ rất ít sĩng trở lại trái đất. Ban đêm, N nhỏ nên n ϕI. Sẽ xãy ra hiện tượng khúc xạ từng bậc. Do sự phản xạ nhiều lần giữa tầng ion và mặt đất, sĩng trời truyền đi rất xa. Vì thế, cĩ những sĩng trời phát ra từ những đài xa bên kia trái đất vẫn cĩ thể thu được trên băng sĩng ngắn. 3. Sự truyền LOS là phương thức truyền cho các tần số trên 30 MHz. Ở đĩ, sĩng điện từ truyền theo đường thẳng. Trong trường hợp này f2 >> 81N làm cho n ≈ 1 và như vậy cĩ rất ít sĩng bị khúc xạ bởi tầng ion. Sĩng sẽ truyền ngang qua tầng này. Tính chất đĩ được dùng cho thơng tin vệ tinh. Cách truyền LOS bất lợi cho việc truyền thơng tin giữa 2 trạm mặt đất, khi mà đường đi tín hiệu phải ở trên đường chân trời. Độ cong mặt đất sẽ chặn đường truyền LOS. Trang I.8
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Hình 1.5 Anten phát cần phải đặt trên cao, sao cho anten thu phải “ thấy “ được nĩ. d2 + r2 = ( r + h )2 d2 = 2rh + h2 h2 << 2 rh Như vậy: d = 2rh Bán kính trái đất là 3.960 miles. Tuy nhiên, tại những tần số LOS bán kính hiệu dụng là 4 3.960. Vậy khoảng cách d = 2rh miles. Trong đĩ h tính bằng feet. 3 Thí dụ: Các đài truyền hình cĩ tần số trên 30MHz trong băng VHF và UHF, vùng phủ sĩng của các đài cơng suất lớn bị giới hạn bởi đường tầm mắt. Với một tháp anten 1000 ft → d = 44,7miles. Nếu anten thu cao 30 feet , d = 7,75 miles. Vậy với chiều cao đài phát và máy thu này, đài cĩ vùng phủ sĩng cĩ bán kính 44,7 + 7,75 = 52,5 miles. * Với những tần số 30 - 60 MHz, tín hiệu cĩ thể bị tán xạ bởi tầng ozon. Sự tán xạ là do sự bất thường của n ở lớp dưới của tầng này. ( ≈ 50 miles trên mặt đất ). Khiến cho thơng tin cĩ thể truyền đi xa hơn cả 1000 miles. * Tương tự sự phản xạ ở tầng tropo ( trong vịng 10 miles cao hơn mặt đất ) cĩ thể truyền tín hiệu ( 40 MHz - 4GHz ) xa vài trăm miles. 1 miles = 1.609,31 m 1 feet = 0.3048 m sea miles = 1852 m. SỰ đo tin tỨc. Định nghĩa: Tin tức gửi từ 1 nguồn digital, khi bản tin thứ j được truyền đi là : ⎛ 1 ⎞ IJ = log2 ⎜ ⎟ bits ⎝ PJ ⎠ PJ: Là xác suất của việc truyền bản tin thứ J Cơ số (base) của log xác định đơn vị được dùng để đo tin tức.Nếu log cơ số 2, thì đơn vị là bits.Với log tự nhiên đơn vị là Nats.Và với log cơ số 10 đơn vị sẽ là Hastley Bit, đơn vị đo tin cĩ ý nghĩa khác với bit là đơn vị của dữ liệu nhị phân.Tuy nhiên người ta vẫn hay dùng ” bit ” để ký hiệu cho cả hai loại đơn vị. Cơng thức trên được viết lại với cơ số tự nhiên và cơ số 10: −1 −1 IJ = log10 PPj = lognj log10 2 logn 2 Một cách tổng quát, nội dung tin tức sẽ thay đổi từ bản tin này đến bản tin khác, vì PJ sẽ khơng bằng nhau. Như vậy, ta cần đến một sự đo tin tức trung bình của nguồn. Trang I.9
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Định nghĩa: Số đo tin tức trung bình (average information) của 1 nguồn là: m m ⎛ 1 ⎞ H = ∑∑PIjj= Pj log2 ⎜ ⎟ bits j==1 j 1 ⎝ Pj ⎠ m: Số bản tin. PJ : Xác suất của sự gởi bản tin thứ J Tin tức trung bình cịn gọi là entropy. Ví dụ: Tìm information content (dung lượng tin tức ) tin tức của một bản tin gồm một word digitaldài 12digit , trong đĩ mỗi digit cĩ thể lấy một trong 4 mức cĩ thể. Xác suất của sự gởi một mức bất kỳ trong 4 mức được giả sử bằng nhau và mức của một digit khơng tùy thuộc vào trị giá được lấy của digit trước đĩ. Trong một string gồm 12 symbol (digit) mà ở đĩ mỗi symbol gồm một trong 4 mức đĩ là 4.4 4 = 412 bits, tổ hợp (word) khác nhau. Vì mỗi mức gồm bằng nhau tất cả các word khác nhau đều bằng nhau. Vậy: 12 1 ⎛ 1⎞ PJ = = ⎜ ⎟ 412 ⎝ 4⎠ hoặc ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ IJ = log 2 ⎜ 1 ⎟ ==12 log 2 ()4 24 bits ⎜ ⎛ 1⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 4⎠ ⎠ Trong ví dụ trên ta thấy dung lượng tin ( information content ) trong bất kỳ một bản tin cĩ thể nào đĩ đều bằng với dung tin trong bất kỳ bản tin cĩ thể khác (24 bits). Vậy tin tức trung bình H là 24 bits. Giả sử rằng chỉ cĩ 2 mức (nhị phân) được cho phép cho mỗi digit và rằng tất cả các wordthì gần bằng nhau Vậy tin tức sẽ là IJ = 12 bits cho word nhị phân và tin tức trung bình là H = 12bits. Ở đĩ tất cả word 12 bits sẽ cho 12 bits tin tức vì các word gần bằng nhau Nếu chúng khơng bằng nhau một vài trong các word 12 bits sẽ chứa hơn 12 bits tin tức và một vài sẽ chứa ít hơn .Và tin tức trung bình sẽ chứa ít hơn. Đinh nghĩa: Nhịp độ của nguồn (nate source) được cho bởi H R = bits/sec T H: Tin tức trung bình. T: Thời gian cần thiết để gửi một bản tin. Định nghĩa trên được áp dụng cho một nguồn digital. Các hỆ thơng tin lý tưỞng. Cĩ một số tiêu chuẩn được dùng để đánh giá tín hiệu quả của một hệ thơng tin . Đĩ là giá thành, độ rộng kênh, cơng suất truyền, tỷ số s/n tại những điểm khác nhau của hệ, thời gian trể ngang qua hệ thống. Và xác suất bit error của hệ digital. Trong các hệ digital, hệ tối ưu cĩ thể được nghĩa như là một hệ cĩ xác suất bit error tối thiểu ở ngõ ra của hệ với sự cưỡng chế về cơng suất được phát và độ rộng kênh. Điều này làm nảy ra câu hỏi: liệu cĩ thể phát minh một hệ khơng cĩ bit error ở ngõ ra dù khi cĩ nhiễu thâm nhập vào kênh ? Câu hỏi này được Claude Shannon trả lời là cĩ thể, với vài giả thiết Shannon chứng minh rằng một dung lượng kênh C (bits/sec) sẽ được tính sao cho nếu nhịp độ tin tức R (bits/sec) nhỏ hơn C, thì xác suất của bit error tiến đến zero. Phương trình của C là: Trang I.10
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn ⎡ S ⎤ C = B log2 1+ ⎣⎢ N ⎦⎥ B: Độ rộng kênh (Hz) và S/N là tổng số cơng suất tín hiệu trên nhiễu tại ngõ vơ của máy thu digital. - Trong các hệ analog, hệ tối ưu cĩ chỗ định nghĩa như là một hệ cĩ tổng số S/N lớn nhất ở ngõ ra máy thu với sự cưỡng chế về cơng suất được phát và độ rộng kênh. Ta cĩ thể đặt câu hỏi: Liệu cĩ thể thiết kế một hệ thống với tổng số S/N lớn vơ hạn ở ngõ ra khi nhiễu thâm nhập vào kênh ? Câu trả lời là dĩ nhiên là khơng. mã hĩa (CODING). Nếu dữ liệu ở ngõ ra của một hệ thơng tin digital cĩ errors, cĩ thể giảm error bằng cách dùng một trong hai kỹ thuật : -Automatic Repeat request (ARQ). -Forward error conection (FEC). Trong một hệ ARQ, khi máy thu phân tích được error trong khối dữ liệu, nĩ yêu cầu khối dữ liệu phát trở lại. Trong một hệ FEC dữ liệu được phát ra cần được mã hĩa sao máy thu cĩ thể sữa sai như là các sai số đã phân tích. Biện pháp này cũng được xếp loại như sự mã hĩa kênh, vì nĩ được dùng để sữa sai khi kênh bị nhiễu. Sự chọn lựa ARQ hay FEC tùy vào áp dụng riêng. ARQ thường được dùng trong hệ thơng tin computer. FEC được dùng đễ sửa sai trễ các kênh simplex (1 way). Hệ thơng tin với FEC được vẽ ở hình dưới đây. Về mặt lý thuyết dung lượng kênh của Shannon chứng tỏ rằng một trị giá vơ hạn của S/N chỉ giới hạn nhịp độ truyền. Đĩ là xác suất của error P(E) cĩ thể tiến đến zero khi nhịp độ tin tức nhỏ hơn dung lượng kênh. Truyền nhiễu Nhận ~ Tín hiệu m Mã hố g(t) Mạch sĩng s(t) r(t) Mạch sĩng g(t) Mã hố kênh số và xử lý mang mang và xử lý ~ m(t) Bộ thu tín Hình 1.6 hiệu số Trang I.11
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Chương II PHÂN TÍCH TÍN HIỆU XEM LẠI CHUỖI FOURRIER. PHỔ VẠCH. BIẾN ĐỔI FOURRIER. CÁC HÀM KỲ DỊ: ( SINGNLARITY FUNCTIONS ). PHÉP CHỒNG (CONVOLUTION). PHÉP CHỒNG ĐỒ HÌNH ( GRAPHICAL CONVOLUTION ). ĐỊNH LÝ PARSEVAL. NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURRIER. ĐỊNH LÝ VỀ SỰ BIẾN ĐIỆU. CÁC HÀM TUẦN HỒN. Trang II.1
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn XEM LẠI CHUỖI FOURRIER. 1. Một hàm bất kỳ S(t) cĩ thể được viết: ( dạng lượng giác ). ∞ (2.1) S(t) = a0cos(0) + ∑ [ an cos 2π nf0t + bn sin 2πf0t ] n=1 1 Với t0 < t < t0 + T ; T fo Số hạng thứ nhất là a0 vì cos (0) = 1. Việc chọn các hằng an và bn theo các cơng thức sau: 1 tTo + - Với n = 0 ; a0 = st()dt (2.2) T ∫ to 2 tTo + - Với n ≠ 0 ; an = st()cos2πnf t.dt (2.3) T ∫ o to 2 tTo + bn = st()sin2πnf t.dt (2.4) T ∫ o to Hệ thức (2.2) cĩ được bằng cách lấy tích phân 2 vế của (2.1). Hệ thức (2.3) và (2.4) cĩ được bằng cách nhân cả 2 vế của (2.1) cho hàm sin và lấy tích phân. 2. Dùng cơng thức EULER, cĩ thể đưa dạng s(t) ở trên về dạng gọn hơn ( dạng hàm mũ phức ). j2πnfot EULER → e = cos 2πnfot + j sin 2πnfot (2.5) ∞ j2πnfot S(t) = ∑ Cn e (2.6) n=−∞ Trịn đĩ n: Số nguyên; dương hoặc âm. Và Cn được định bởi: 1 tTo + -j2πnfot Cn = s(t) e dt (2.7) T ∫to Điều này dễ kiểm chứng, bằng cách nhân hai vế của (2.5) cho e -j2πnfot và lấy tích phân hai vế. Kết quả căn bản mà ta nhận được = một hàm bất kỳ theo thời gian cĩ thể được diễn tả bằng tổng các hàm sin và cos hoặc là tổng của các hàm mũ phức trong một khoảng. Nếu s(t) là một hàm tuần hồn, ta chỉ cần viết chuỗi Fourrier trong một chu kỳ, chuỗi sẽ tương đương với s(t) trong mọi thời điểm. Ví dụ 1: Hãy xác định chuỗi Fourrier lượng giác của s(t) như hình vẽ. Chuỗi này cần áp dụng trong khoảng - π/2 < 1< π/2 . Trang II.2
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Ta dùng chuỗi Fourrier lượng giác, với T = π và fo 11 s(t) = = như vậy chuỗi cĩ dạng: T π ∞ s(t) = a0 + ∑ [ an cos 2nt + bn sin 2nt ] t n=1 -2 -π/2 π/2 2 Hình 2.1 Tín hiệu cos(t). π + 122 Trong đĩ: a0 = π costd. t= ππ∫− 2 π + nn+1 2 2 21⎡()− ()−1 ⎤ và an = π costn.cos2 t.dt= ⎢ + ⎥ ππ∫− ⎢ 21nn− 21+ ⎥ 2 ⎣ ⎦ Ta định giá bn như sau: π + 2 2 bn = π s()t .sin2nt .dt T ∫− 2 Vì s(t) là một hàm chẵn theo thời gian, nên s(t) .sin 2nt là một hàm lẻ và tích phân từ - π/2 đến π/2 là zero. Vậy bn = 0 với mọi s(t) lẻ. Chuỗi Fourrier được viết : ∞ n 22⎡()−1n+1 ()−1 ⎤ s(t) = + ⎢ + ⎥ cos 2nt (2.8) ππ∑ ⎢ 21nn− 21+ ⎥ n=1 ⎣ ⎦ Lưu ý: Chuỗi Fourrier cho bởi phương trình trên đây cĩ cùng khai triển như của hàm tuần hồn sp(t) như hình dưới đây: sp(t) t -3π/2 -π/2 π/2 3π/2 Hình 2.2 Anh của s (t) trong biến đổi Fourier. PhỔ vẠch Trong lúc tìm sự biểu diễn chuỗi Fourrier phức của 1 hàm theo thời gian, ta dùng một thừa số trọng lượng phức Cn cho mỗi trị của n. Thừa số Cn cĩ thể được vẽ như là hàm của n. Vậy cần đến 2 đường biểu diễn. Một để biểu diễn cho suất của n và một để biểu diễn pha. Đường biểu diễn này thì rời rạc. Nĩ chỉ khác zero đối với những trị gián đoạn của trục hịanh. ( Ví dụ: C1/2 thì khơng cĩ ý nghĩa ). Đường biểu diễn Cn đối với nf0 gọi là phổ Fourrier phức. Trong đĩ nf0 là lượng tương ứng với tần số của hàm mũ phức mà đối với nĩ Cn là một hệ số trọng lượng. Ví dụ 2: Tìm phổ Fourrier phức của sĩng cosin được chỉnh lưu tồn sĩng, s(t) = ⏐cos t⏐, như hình vẽ dưới đây. Trang II.3
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn |cost| t -3π/2 -π/2 π/2 3π/2 Hình 2.3 Tín hiệu |cos(t)|. Trước hết ta phải tìm khai triển chuỗi Fourrier theo dạng hàm mũ phức. 1 Với F0 = , ta tính trị giá Cn từ (2.6) và tìm chuỗi Fourrier trực tiếp. π Tuy nhiên ở ví dụ 1, ta đã khai triển chuỗi Fourrier dưới dạng lượng giác rồi, nên cĩ thể khai triển hàm cos để đưa về dạng hàm mũ phức bằng cách dùng cơng thức Euler: ∞ n 22⎡()−1n+1 ()−1 ⎤ s(t) = + ⎢ + ⎥ cos 2nt ππ∑ ⎢ 21nn− 21+ ⎥ n=1 ⎣ ⎦ 1 Với cos 2nt = eejn22t+ − jnt 2[] Vậy chuỗi Fourrier dạng hàm mũ: ∞ −1 2 a a s(t) = ++n ejn2 t n e− jn2 t π ∑∑22 n=1 n=−∞ ∞ ∞ 2 a a = ++n ejn2 t −n ejn2 t (2.9) π ∑22∑ n=1 n=1 Ta đã đổi biến số ở số hạng sau. Vậy Cn liên hệ với an: an Cn = Với n > 0 2 a−n Cn = Với n < 0 2 2 Cn = π Trong trường hợp này, Cn là số thực. Nên chỉ cần vẽ một đồ hình. Trang II.4
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn 2/π 2/3π -2 2 2/35π nf0 -3 -1 1 3 3 -2/15π Hình 2.4: Phổ vạch của ví dụ 2 . BiẾn đỔi Fourrier: Một tín hiệu khơng tuần hồn được xem như là trường hợp giới hạn của một tín hiệu tuần hồn, trong đĩ chu kỳ T của tín hiệu tiến đến ∞. Nếu chu kỳ tiến đến ∞, tần số căn bản F0 tiến đến 0. Các họa tần khép lại với nhau và, trong giới hạn, tổng chuỗi Fourrier biểu diễn cho s(t) sẽ trở thành một tích phân. ∞ − jf2π t F [s(t)] = S(f) ∫ st()e dt (2.10) −∞ F [.] kí hiệu cho biến đổi Fourrier của [.]. Nĩ cịn được gọi là phổ - hai - phía ( Two - Side - Spectrum ) của s(t), vì cả hai thành phần tần số dương và âm đều thu được từ (2.10). Giả sử s(t) là một hàm thực (vật lý). Một cách tổng quát, S(f) là một hàm phức theo tần số. S(f) cĩ thể phân làm hai hàm thực X(f) và Y(f) : S(f) = X(f) + jY(f) (2.11) Dạng trên gọi là dạng Cartesian, vì S(f) cĩ thể được biểu diễn trong một hệ trục tọa độ Descartes. Cũng cĩ thể biểu diễn S(f) trong một hệ trục cực. Khi đĩ, cặp hàm thực sẽ trình bày suất và pha. S(f) = ⏐S(f) ⏐ ejθ(f) (2.12) Với : ⏐S(f)⏐ = Xf2()+ Y2(f) (2.13) và: -1 ⎛ Yf()⎞ θ(f) = tan ⎜ ⎟ (2.14) ⎝ Xf()⎠ Dạng trên đây cịn gọi là dạng cực ( Polar form ). Trang II.5
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Để xác định những tần số nào hiện hữu, ta khảo sát phổ của xuất ⏐S(f)⏐. ( Đơi khi gọi tắt là ” Phổ “ ). Phổ của một dạng sĩng ( dịng hay thế ) cĩ thể thu được từ những phép tính tốn học. Nĩ khơng xuất hiện một cách vật lý trong các mạch điện thực tế. Tuy nhiên cĩ thể dùng Spectrum Analyser để quan sát một cách gần đúng. * Để phục hồi lại s(t) từ biến đổi Fourrier của nĩ, ta tính tích phân sau: ∞ (2.15) s(t) = Sf()ejf2π tdt = F -1 [S(f)] ∫ −∞ Phương trình này thường gọi là biến đổi ngược của S(f). Hai hàm s(t) và S(f) tạo thành một cặp biến đổi Fourrier. Trong đĩ, s(t) diễn tả trong phạm vi thời gian, cịn S(f) diễn tả trong phạm vi tần số. Ký hiệu cho một cặp biến đổi Fourrier : S(f) ↔ s(t) Hoặc s(t) ↔ S(f) (2.16) Nếu tín hiệu hoặc nhiễu được mơ tả trong phạm vi này, thì sự mơ tả tương ứng trong phạm vi kia sẽ được biết nhờ cách dùng (2.10) hoặc (2.15). Dạng sĩng s(t) cĩ thể biến đổi Fourrier được nếu nĩ thỏa các điều kiện Dirichelet. Tuy nhiên, tất cả các dạng sĩng vật lý trong kỷ thuật đều thỏa các điều kiện đĩ. Ví dụ 3: Phổ của một xung expo. Đặt s(t) là một xung expo tắt ( Decaying Exponential Pulse ) bị ngắt ( Switched ) tại t = 0. ⎪⎧e−t , t>0 s(t) = ⎨ (2.16) ⎩⎪00, t< Phổ của xung này cĩ được bằng dùng phép biến đổi Fourrier. ∞ S(f) = ∫ ed−jf2π tt 0 1 S(f) = 12+ jfπ (2.17) Phổ của S(f) cĩ thể tính bằng cách hữu tỷ hĩa mẫu số (2.17) 1 −2πf X(f) = Và Y(f) = 12+ ()πf 2 12+ ()πf 2 Và dạng cực: Trang II.6
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn 1 ⏐S(f) ⏐ = ; θ(f) = tan-1(2πf) 12+ ()πf 2 Cặp Fourrier trong ví dụ trên: ⎪⎧et−t , >0⎪⎫ 1 ⎨ ⎬ ↔ (2.18) ⎩⎪00, t α s(t) = ⎨ (2.19) ⎩⎪0 , Phá ưnkhạc s(t) A t -α α Hình 2.5 Tín hiệu s(t). * Từ định nghĩa của biến đổi Fourrier. ∞ S(f) = ∫ st()e−jf2π tdt −∞ α ejf2π tα = Ae. −jf2π tdt =−A ∫ jf2π −α −α eejf22π α − − jfπ α = A (2.20) jf2π si n 2πfα = A πf Trang II.7
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn s(f) 2α 1/2α 1/α f Hình 2.6 Anh của s(t) trong biến đổi Fourier. Những hàm thuộc loại trên đây rất phổ biến trong kỷ thuật thơng tin. Để tránh lập lại hàm này ta định nghĩa hàm Sa(x) như sau: si n x Sa(x) (2.21) x Khi đĩ (2.20) được viết lại: S(f) = 2Aα . Sa( 2πfα ) (2.22) 2. Hàm xung lực ( Impulse ). Bây giờ ta muốn tìm biến đổi Fourrier của 1 hằng, s(t) = A, với mọi t. Ta cĩ thể xem nĩ là giới hạn của xung g(t) khi α → ∞. Ta cố gắng theo cách quanh co này, vì kỷ thuật trực tiếp thất bại trong trường hợp này. Khi áp s(t) = A vào tích phân định nghĩa, ta cĩ: ∞ S(f) = ∫ Ae−jf2π tdt (2.23) −∞ Tích phân này khơng hội tụ. Từ (2.6), ta thấy khi α → ∞ , biến đổi Fourrier tiến đến vơ cực tại gốc và những điểm cắt trục zero trở nên cách nhau vơ cùng lớn. Như vậy, trong giới hạn, chiều cao của biến đổi Fourrier tiến đến vơ cực, cịn bề rộng thì đến zero. Điều này nghe buồn cười ! Nhưng nĩ khơng phải là một hàm thực sự với mọi lúc vì nĩ khơng được xác định tại f = 0. Nếu ta cĩ nĩi bất cứ điều gì về biến đổi Fourrier của một hằng, ta phải thay đổi cách nghĩ. Sự thay đổi đĩ bắt đầu bằng cách định nghĩa một “ hàm “ mới đặt tên là xung lực ( mà nĩ khơng phải là một hàm thực sự tại mọi lúc ). Ký hiệu là δ(t). Định nghĩa của xung lực được tạo bởi 3 quan sát đơn giản. Hai trong số đĩ đã nĩi đến rồi, đĩ là: δ ()tt= 00, ≠ (2.24) δ ()tt→∞ , =0 Tính chất thứ 3 là diện tích tổng dưới dạng xung lực là đơn vị: Trang II.8
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn ∞ ∫ δ()tdt= 1 (2.25) −∞ Vì tất cả diện tích của δ(t) tập trung tại một điểm, những giới hạn trên tích phân cĩ thể chuyển về gốc mà khơng làm thay đổi giá trị của tích phân. Vậy: b ∫ δ()tdt= 0 (2.26) a Ta cĩ thể thấy rằng tích phân của δ(t) là u(t), hàm nấc đơn vị: t ⎧10, t > δτ()dτ = ⎨ = ut() (2.27) ∫ ⎩00, t < −∞ Bây giờ ta tính tích phân của một hàm bất kỳ với δ(t). ∞ ∞ ∫st()δ()t dt = ∫s(0)δ()t dt (2.28) −∞ −∞ Ở (2.28) ta đã thay s(t) bởi một hàm khơng đổi, bằng với s(0) mà khơng làm thay đổi tích phân. Ta nhớ rằng vì δ(t) = 0 với mọi t ≠ 0. Vì thế tích của δ(t) với một hàm bất kỳ chỉ phụ thuộc trị giá của hàm đĩ tại t = 0. Với hàm khơng đổi ( theo thời gian ) được chọn, ta cĩ thể đem nĩ ra ngồi dấu tích phân. ∞ ∞ ∫∫s()tδ()tdt==s(00) δ()tdt s( ) (2.29) −∞ −∞ Đây là một kết quả cĩ ý nghĩa, và nĩ được xem như là đặc tính mẫu ( Sampling Property ) của xung lực. Nếu đổi các biến số, sẽ cĩ một xung bị dời ( Shifted Impules ) với đặc tính mẫu tương tự. ∞ ∞ (2.30) s()t δδ(t −=t 00)dt s(k +t ) (k)dk =s(t 0) ∫∫Hình 2.7 Xung drac bị dời một khoảng t0. −∞ −∞ δ(t-t ) δ(t) 0 1 1 t t t0 Hai hình vẽ trên trình bày δ(t) và δ( t - t0 ). Mũi tên hướng lên để chỉ trị giá tiến đến vơ cực. Số 1 bên cạnh mũi tên để chỉ diện tích tồn phần của xung lực. Trang II.9
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Ví dụ 5: Tính các tích phân sau: ∞ a) ∫ δ()tt[]2 +1 dt −∞ 2 b) ∫ δ()tt−+11[]2 dt −1 5 c) ∫ δ()tt−+14[]3 t+2dt 3 ∞ d) ∫ δ()12−+tt[]4 dt −∞ Giải: a) Áp dụng trực tiếp đặc tính mẫu: ∞ ∫ δ()tt[2 +1] = s(0) = 02 + 1 = 1 −∞ b) Vì xung lực rơi vào khoảng của tích phân: Từ phương trình (2.30) 2 ∫ δ()tt−+1[2 1]dt = s(1) = 12 + 1 = 2 −1 c) Xung lực xảy ra ở t = 1, nằm ngồi khoảng của tích phân. Vậy: 5 ∫ δ()tt−+14[]3 t+2dt = 0 3 d) δ( 1 - t ) rơi tại t = 1 vì đĩ là giá trị của t làm cho suất bằng zero. Vậy: ∞ ∫ δ()1−+tt[4 2]dt = 14 + 2 = 3 −∞ * Bây giờ ta tìm biến đổi Fourrier của một xung lực: ∞ δ(t) ↔ ∫ δ()te−jf2π tdt = e0 = 1 (2.31) −∞ * Ta trở lại tính biến đổi của 1 hằng, s(t) = A. Ta dễ thấy là tích phân xác định khơng hội tụ. ∞ A ↔ ∫ Ae−jf2π tdt (2.32) −∞ Trang II.10
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn A Với f ≠ 0, tích phân này bị giới hạn bởi . πf Với f = 0 tích phân sẽ ? * Vì tích phân định nghĩa biến đổi Fourrier và tích phân để tính biến đổi ngược thì tương tự, nên ta cĩ thể phỏng đốn rằng biến đổi của một hằng là 1 xung lực. Đĩ là vì, một xung lực biến đổi thành một hằng, vậy một hằng sẽ biến đổi thành một xung lực. Ta hãy tìm biến đổi ngược của một xung. ∞ δ(f) ↔ ∫ δ()fejf2π tdf = 1 (2.33) −∞ Như vậy, điều phỏng đốn của ta là đúng! Biến đổi ngược của δ(f) là một hằng, vậy ta cĩ: A ↔ Aδ(f) (2.34) * Nếu ta biến đổi ngược 1 xung lực bị dời, ta khai triển cặp biến đổi sau: j2πfot Ae ↔ Aδ ( f - f0 ) (2.35) Ví dụ 6: Tìm biến đổi Fourrier của s(t) = cos2πf0t Giải: Dùng cơng thức Euler, để khai triển hàm cosin: 1 j2πfot 1 - j2πfot Cos2πf0t = e + e 2 2 Biến đổi Fourrier của s(t) là tổng các biến đổi của 2 hàm expo. Từ (2.34) 1 1 Cos2πf0t ↔−δδ(f f ) +(f +f ) 2 002 (2.36) Trang II.11
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Biến đổi này được vẽ: s(f) 1/2 1/2 f -f0 f0 Hình 2.8 Biến đổi Fourier của cos2πf0t. 3. Hàm nấc đơn vị ( Unit step function ). Một cặp biến đổi khác mà ta sẽ nĩi đến, là hàm nấc đơn vị. Ở đây, một lần nữa, ta lại gắn hàm vào định nghĩa của phép biến đổi, tích phân khơng hội tụ. Ta lại dùng đến kỷ thuật phỏng đốn. Và do sự khơng liên tục của hàm nấc, kỷ thuật này trở nên cĩ nhiều hy vọng. Phép biến đổi thì tương đối dễ tính khi ta thực hiện như sau: 1+ Sgn(t ) u(t) = (2.37) 2 Trong đĩ, hàm Sgn được định nghĩa bởi: ⎧+>10, t Sgn (t) ⎨ (2.38) ⎩−<10, t sign (t)/2 1/2 U(t)/2 1 1/2 1/2 t + t = t -1/2 Hình 2.9 Tín hiệu của hàm dốc. 1 1 Biến đổi của là δ(t). 2 2 Biến đổi của hàm Sgn(t) cĩ thể tính bằng cách xem nĩ như là một giới hạn của hàm expo. Sgn(t) = lim [ e-a⏐t⏐ Sgn(t) ] a→0 Trang II.12
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn 1 -at e t at -e -1 Hình 2.10 Hàm sgn(t). Ta cĩ: F [ Sgn(t) ] = lim F [ e-a⏐t⏐ Sgn(t) ] (3.39) a→0 ⎡ 11⎤ 1 = lim ⎢ + ⎥ = a→0 ⎣ j2ππf + a j2 f − a⎦ jπf Biến đổi của hàm nấc đơn vị được cho bởi phương trình (2.40) 11 u(t) ↔ + δ(f ) j2πf 2 (2.40) Phép chỒng (CONVOLUTION) Phép chồng 2 hàm r(t) và s(t) được định nghĩa bởi thuật tốn tích phân: ∞ ∞ r(t) * s(t) = ∫∫rs()ττ(t−=)dτ s()τr(t−τ)dτ (2.41) −∞ −∞ Ký hiệu * thì được qui ước và đọc “ r(t) chồng với s(t) “. Tích phân thứ hai là kết quả từ sự đổi biến số và chứng tỏ rằng phép chồng cĩ tính giao hốn vậy: r(t) * s(t) = s(t) * r(t). Nhớ là phép chồng 2 hàm của t là một hàm của t. τ là một biến số giả do tích phân mà ra. Một cách tổng quát, tích phân của phương trình (2.41) thì rất khĩ tính. Ví dụ 7: Tính phép chồng của r(t) với s(t). Trong đĩ, r(t) và s(t) là những xung vuơng được vẽ như hình. r(t) s(t) 1 1 t t -1 1 -2 2 Hình 2.11 Dạng tín hiệu r(t) và s(t). Giải: Các hàm cĩ thể viết dưới dạng: r(t) = u ( t + 1) - u ( t - 1) Trang II.13
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn s(t) = u ( t + 2) - u ( t - 2) Trong đĩ, u(t) là hàm nấc định nghĩa bởi: ⎧10, t > u(t) = ⎨ ⎩00, t t + 2 và u(t - τ - 2) = 0 , τ > t - 2 Ta cĩ: ∞ t + 2 ∫∫ut()−+ττ23d = dτ=t+ −11− ( Vì rằng t + 2 > -1 hoặc t > -3. Ở khoảng khác, tích phân là zero). - Nếu t - 2 > -1 hoặc t > 1, Trang II.14
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn ∞ t − 2 ∫∫ut()−−ττ21d = dτ=t− −11− - Nếu t + 2 > +1 hoặc t > -1, ∞ t + 2 ∫∫ut()−+ττ21d = dτ=t+ 11 - Nếu t - 2 > 1 hoặc t > 3, ∞ t − 2 ∫∫ut()−−ττ23d = dτ=t− 11 Dùng 4 kết quả đĩ ta cĩ: r(t) * s(t) = ( t + 3)u(t + 3) - (t - 1)u(t - 1) - (t + 1)u(t + 1) + (t - 3)u(t - 3) Bốn số hạng này và tổng của chúng được vẽ như hình dưới đây. Từ ví dụ khiêm tốn này, ta cĩ thể thấy rằng nếu r(t) hoặc s(t) chứa hàm nấc, thì cách tính phép chồng trở nên rất lúng túng. Hình 2.12 Phép chồng của tín hiệu r(t) và tín hiệu s(t). (t+3)U(t+3) (t-3)U(t-3) 3 t t -3 3 -(t+1)U(t+1) -(t-1)U(t-1) -1 1 t t -1 r(t)*s(t) 2 t -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Phép chỒng đỒ hình ( Graphical convolution ) Nếu r(t) và s(t) quá phức tạp, hoặc dạng sĩng khơng được biết chính xác, ta cĩ thể dùng phép chồng đồ hình. Phương pháp này dùng những quan sát và kiểm tra tổng quát mà khơng phải tính chi tiết các tích phân. Trong nhiều áp dụng thơng tin, phương pháp này thì đủ mà khơng cần thiết phải tính một phép chồng chính xác. Ví dụ 8: Dùng phép chồng đồ hình cho 2 hàm ở ví dụ 7. Trang II.15
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Hình 2.13 Phép chồng đồ hình cho hai hàm ở ví dụ 7. t r(t)1 s(t-τ1) r(τ)s(t-1 τ) Diện tích -1 1 -4 -6 -2 0 1 1 1 0 -3 -1 1 -5 -1 1 1 1 1 1 − 2 -1 1 2 2 -4.5 -.5 -1 -.5 1 1 1 1 2 -1 1 -4 -1 1 1 −1 1 1 1 1 2 2 -1 1 -3.5 .5 -1 .5 -1 1 1 1 2 -1 1 -3 1 -1 1 1 2 − 1 1 1 2 -1 1 -2.5 1.5 -1 1 0 2 1 1 1 1 -1 1 -2 2 -1 1 2 2 1 1 1 1 -1 1 -1.5 2.5 -1 1 2 1 1 1 3 1 -1 1 -1 3 -1 1 1 2 2 1 1 1 3 0 -1 1 -.5 3.5 -.5 1 1 1 1 -1 1 1 5 Ảnh qua gương của s(τ) là s( - τ). Đĩ là s(τ) được phản xạ qua trục đứng. Với một t cho sẵn, ta lập s(t - τ), biểu diễn cho hàm s( - τ) bị dời về phía phải bởi t. Sau đĩ, ta lấy tích số: r(t) s(t)( t - τ ) Và lấy tích phân của tích số này ( chính là tìm diện tích ) để cĩ được trị giá của phép chồng ứng với trị giá của t. Trang II.16
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Hình trên đây trình bày 12 khung của sự dời hình. Với ví dụ đặc biệt này, khơng bắt buộc s(t) phải phản xạ để cĩ ảnh qua gương, vì s(t) là một hàm chẳn. Nhớ là diện tích của tích số biểu diễn cho trị giá của phép chồng. Diện tích này được vẽ thành một chuỗi các điểm. Cĩ thể thấy là kết quả giống như ở ví dụ 7. Đường nối các điểm là đường thẳng. Điều đĩ hiển nhiên, vì phép chồng trở thành tích phân của một hằng. Kết quả cho một hàm dốc ( Ramp Function ). r(t)*s(t) 2 t -3 -2 -1 1 2 3 Hình 2.14 Kết quả phép chồng đồ hình của s(t) và r(t). Ví dụ 9: Tính phép chồng ( bằng đồ hình ) của 2 hàm sau đây: (Sinh viên tự giải) r(t) s(t) 1 1 t t -1 1 1 3 Hình 2.15 Tín hiệu s(t) và r(t) . Bây giờ ta xem phép chồng của một hàm bất kỳ với xung lực δ(t). ∞ δ(T) * s(t) = ∫ δτ()ts(t−=)dτst( −0)=st() (2.42) −∞ Như vậy một hàm bất kỳ chồng với một xung lực thì giữ nguyên khơng thay đổi. Trang II.17
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Hình 2.16 Kết quả phép chồng đồ hình của s(t) và r(t) Nếu ta chồng s(t) với xung lực bị dời ( Shifted ) δ(t - t0), ta thấy: ∞ δ(t - t0) * s(t) = ∫ δτ()tt−00s(t−)dτ=−s(t0)=s(tt−) (2.43) −∞ Tĩm lại, phép chồng s(t) với một xung lực khơng làm thay đổi dạng hàm của s(t). Cĩ thể chỉ gây nên một sự dời thời gian trong s(t) nếu xung lực khơng xảy ra tại t = 0. Giờ ta đã cĩ khái niệm về thuật tốn gọi là “ phép chồng “. Ta hãy trở lại phép biến đổi Fourrier. Định lý về phép chồng: Nếu r(t) ↔ R(f) Và s(t) ↔ S(f) Thì: r(t) * s(t) ↔ R(f). S(f) (2.44) Cĩ thể chứng minh trực tiếp định lý bằng cách tính biến đổi Fourrier của phép chồng. Ta cũng cĩ thể chứng minh: Trang II.18
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn R(f) * S(f) ↔ r(t) . s(t) (2.45) Bằng cách tính biến đổi Fourrier ngược. Ví dụ 9: Dùng định lý phép chồng để tính tích phân sau: ∞ si n 3τ si n( t − τ) dτ ∫ τ t − τ −∞ Giải: Tích phân trên biểu diễn phép chồng của 2 hàm theo thời gian: 3ttsi n sin * 2 t ⎡sin 3t ⎤ F ⎡sin t ⎤ ⎣⎢ t ⎦⎥ F ⎣⎢ t ⎦⎥ π π t x t -3/2π 3/2π -1/2π 1/2π π2 = t -1/2π 1/2π Biến đổi Fourrier của tích phân là tích của biến đổi Fourrier của 2 hàm. Hai biến đổi này cĩ thể xem ở bảng phụ lục. Hình 2.17 Tích của hai biến đổi Fourier từ s(t) và r(t). Lấy biến đổi Fourrier ngược của tích này, ta sẽ cĩ kết quả của phép chồng. Đĩ là: π si n t t ĐỊnh lý PaRseval Dạng sĩng của một hàm và của biến đổi Fourrier của nĩ thì rất ít giống nhau. Tuy nhiên, một vài hệ thức hiện hữu giữa năng lượng của một hàm thời gian và năng lượng của biến đổi Fourrier của nĩ. Trang II.19
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn Dùng “ năng lượng “ để chỉ tích phân của bình phương của hàm. Từ này được dùng và nĩ biểu diễn trị giá năng lượng ( watt - sec ) tiêu tán trong điện trở 1Ω nếu tín hiệu là điện thế hoặc dịng điện ngang qua điện trở. Ta cĩ: r(t) s(t) ↔ R(f) * S(f) ∞ F [ r(t) s(t) ] = ∫ rt()s()te− jf2π tdt (2.46) −∞ ∞ = ∫ Rk()S(f− k)dk −∞ Vì đẳng thức này đúng với mọi f, ta đặt f = 0. Khi đĩ: ∞ ∞ ∫ rt()s()t dt= ∫ Rk()S(−k)dk (2.47) −∞ −∞ Biểu thức (2.47) là một dạng của cơng thức Paseval. Nĩ liên quan đến năng lượng nên ta xét trường hợp đặc biệt: s(t) = r * (t) r*(t) là liên hợp của r(t). F [ r*(t)] cho bởi liên hợp của biến đổi Fourrier, bị phản xạ qua trục dọc. Đĩ là R*(-f). Dùng kết quả của (2.47), ta được: ∞ ∞ ∫r 2()t dt = ∫R 2(f ) df (2.48) −∞ −∞ Phương trình (2.48) chứng tỏ rằng năng lượng của hàm theo t thì bằng với năng lượng của biến đổi Fourrier của nĩ. NHỮNG tính chẤt cỦa biẾn đỔi Fourrier 1. Thực / ảo - Chẳn / lẻ. Bảng sau đây tĩm tắt những tính chất của biến đổi Fourrier dựa trên sự quan sát quan sát hàm theo t. Hàm thời gian Biến đổi Fourrier A Thực Phần thực chẳn - Phần ảo lẻ B Thực và chẳn Thực và chẳn C Thực và lẻ Ảo và lẻ D Ảo Phần thực lẻ - Phần ảo chẳn E Ảo và chẳn Ảo và chẳn Trang II.20
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn F Ảo và lẻ Thực và lẻ Cĩ thể dùng cơng thức Euler để chứng minh: ∞ S(f ) = ∫ st()e− jf2π tdt −∞ ∞ ∞ = ∫∫st()cos22ππftdt − j s(t)sin ftdt −∞ −∞ = R + j X R là một hàm chẳn của f vì khi f được thay bằng -f thì hàm khơng đổi. Tương tự, X là một hàm lẻ của f. Nếu s(t) giả sử là thực, R trở thành phần thực của biến đổi và X là phần ảo. Vậy tính chất A đã được chứng minh. Nếu s(t) thực và chẳn, thì X = 0. Điều này đúng vì X lẻ ( tích của hàm chẳn và lẻ ) và tích phân là 0. Vậy tính chất B đã được chứng minh. Nếu s(t) thực và lẻ, R = 0. ( Tính chất C ). Nếu s(t) ảo, X trở thành phần ảo của biến đổi và R là phần thực. Từ quan sát đơn giản đĩ, các tích chất D, E, F dễ dàng được chứng thật. 2. Dời thời gian ( Time Shift ). Biến đổi Fourrier của một hàm thời gian bị dời thì bằng với biến đổi của hàm thời gian gốc nhân bởi một hàm expo phức. -j2πfot e S(f) ↔ s(t - t0 ) (2.49) Ví dụ 10: Tìm biến đổi Fourrier của: ⎧10, <<t 2 s(t) = ⎨ ⎩0 ,phá ưnkhạc s(t) 1 t 2 Hình 2.18 Dạng tín hiệu s(t). Giải: Từ định nghĩa ta cĩ: Trang II.21
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn 2 e− jf2π t S(f ) = ed− jf2π tt=−eejf22ππ− jf ∫ jf2π [] 0 si n 2πf = e-j2πf πf Kết quả này cĩ thể thu được từ việc dùng một hàm nấc trong ví dụ 4 và tính chất dời thời gian. s(t) ở ví dụ 10 trên đây thì giống như ở ví dụ 4 ( Với A = α = 1), ngoại trừ việc dịch thời gian 1 sec. 4. Dời tần số ( Frequency shift ). Hàm theo thời gian tương ứng với một biến đổi Fourrier dời tần thì bằng với hàm theo thời gian của biến đổi khơng dời tần nhân với 1 hàm expo phức. j2πf S(f - f ) ↔ e o s(t) 0 (2.50) Ví dụ 11: Tìm biến đổi Fourrier của s(t). jt2 ⎪⎧etπ , <1 s(t) = ⎨ ⎩⎪0 , phá ưnkhạc Giải: s(t) này giống như s(t) ở ví dụ 4 ( với A = α = 1), trừ việc nhân với thừa số ej2πt . Định lý về sự dời tần được dùng để thấy rằng biến đổi là biến đổi gốc bị dời bởi một đơn vị tần số. Như vậy, ta lấy biến đổi trong ví dụ 4 và thay thế f - 1 cho f. si n 21π( f − ) S(f) = π()f −1 S(f) f 0.5 1 1.5 Hình 2.19 Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t). 5. Sự tuyến tính. Sự tuyến tính là tính chất quan trọng nhất của phép biến đổi Fourrier. Biến đổi Fourrier của một tổ hợp tuyến tính của các hàm theo thời gian là một tổ hợp tuyến tính của các biến đổi Fourrier tương ứng. Trang II.22
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn as (t) + bs (t) ↔ aS (f) + bS (f) 1 2 1 2 (2.51) Trong đĩ a, b là những hằng bất kỳ. Cĩ thể chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của phép biến đổi Fourrier và từ tính chất của tuyến tính của thuật tốn tích phân. ∞ ∞ ∞ −−jf2ππt j2 ft − jf2πt ∫∫[]as12()t+=bste() dt as1()te dt+b∫st2()e dt −∞ −∞ −∞ = aS1(f) + bS2(f) Ví dụ 12: Tìm biến đổi Fourrier của s(t). ⎧11,−<t <0 ⎪ ⎪20, <<t 1 s(t) = ⎨ ⎪11, <<t 2 ⎩⎪0 , Phá ưnkhạc s(t) 2 t 1 0.5 1 2 Hình 2.20 Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t). Giải: Ta dùng tính chất tuyến tính và thấy rằng s(t) là tổng của hàm trong ví dụ 4 với hàm trong ví dụ 11. Vậy, biến đổi F cho bởi tổng của hai biến đổi. si n 2πf S(f) = 1+ e− j2πf πf [ ] Vì hàm được cho sẽ chẳn nếu bị dời về trái 0,5 sec, ta cĩ thể viết lại. si n 2πffcosπ S(f) = 2 e− jfπ πf ĐỊNh lý vỀ sỰ biẾn điỆu Định lý này kết hợp chặt chẻ với định lý về sự dời tần. Cho một hàm s(t) và biến đổi Fourrier của nĩ. Hàm s(t) nhân với một sĩng cosin: s(t) cos2πfot Trong đĩ, f0 là tần số của cosin. Biến đổi Fourrier của dạng sĩng này cho bởi: Trang II.23
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn 1 1 F [s(t) cos2πf0t ] = Sf()−+f S(f+f ) 2 002 (2.52) Kết quả của sự nhân một hàm theo t với một hàm sin thuần túy là làm dời biến đổi gốc, cả chiều lên và chiều xuống, bởi tần số của hàm sin. ( Và cắt biên độ cịn phân nữa). Ta cĩ thể chứng minh trực tiếp từ định lý dời tần. Phân cos2πf0t thành 2 thành phần expo và áp định lý dời tần cho ta thấy rằng biến đổi F của một hàm tuần hồn theo t là một đồn xung lực cách đều nhau. Mỗi xung lực cĩ độ lớn ( Strength ) bằng với hệ số Cn tương ứng. Ví dụ 12: Tìm biến đổi F của hàm tuần hồn tạo bởi các xung lực đơn vị như hình vẽ. Hàm cho bởi: ∞ s(t) = ∑δ()tn− T n=−∞ s(t) t -T T 2T 3T Hình 2.21 Hàm tuần hồn s(t). Giải: Biến đổi F cho bởi phương trình (2.53) ∞ S(f) = ∑ Cfnδ()− nf0 n=−∞ Trong đĩ: 1 f0 = T T 2 1 − jn2πf0t Cn = st()e dt T ∫ T − 2 Trong khoảng của tích phân, sự phân bố của s(t) chỉ do xung lực tại gốc. Vậy: T 2 1 − jn2πf0t 1 Cn = δ()te dt = T ∫ T T − 2 Cuối cùng, biến đổi F của đồn xung lực là: Trang II.24
Cơ sở viễn thơng Phạm Văn Tấn ∞ 1 S(f) = δ()fn− f T ∑ 0 n=−∞ 1 Trong đĩ f0 = . T Mỗi thành phần: 1 jf22ππ00t 1 − jft s(t) cos2πf0t = s(te))+ s(te 2 2 Các hàm tuẦn hồn Ở ví dụ 6, ta đã thấy biến đổi F của 1 hàm cosin (f0) và tại trị âm của tần số này (-f0). Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng biến đổi F của một hàm bất kỳ là một hàm rời rạc của tần số. Đĩ là biến đổi thì khác zero chỉ tại những điểm rời rạc dọc theo trục f. Cách chứng minh dựa vào sự khai triển chuỗi F và sự tuyến tính của phép biến đổi F. Giả sử ta phải tìm biến đổi F của một hàm tuần hồn s(t), với chu kỳ T. Ta cĩ thể viết hàm s(t) theo cách biểu diễn chuỗi F phức. ∞ jn2πf0t s(t) = ∑Cen n=−∞ 1 Trong đĩ f0 = . T Ta lập một cặp biến đổi: j2πfot Ae ↔ Aδ (f - f0) Từ cặp này và tính tuyến tính của phép biến đổi F, ta cĩ: ∞ jn2πfot F [s(t) ] = ∑Cn F [e ] (2.53) n=−∞ Biến đổi này được vẽ như hình dưới đây. Nhớ là Cn là số phức, vậy hình vẽ chỉ cĩ chủ đích trình bày khái niệm. Nếu hàm s(t) thực và chẳn, Cn sẽ thực. s(f) C-2 C0 C2 C4 f -f0 f0 2f0 4f0 Hình 2.22 Biến đổi Fourier của hàm tuần hồn s(t). Trang II.25
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Chương III: CÁC HỆ TUYẾN TÍNH • ĐẠI CƯƠNG. • HÀM HỆ THỐNG. • HÀM CHUYỂN PHỨC: (COMPLEX TRANSFER FUNTION). • CÁC MẠCH LỌC. • CÁC LỌC THỰC TẾ. • CÁC LỌC TÁC ĐỘNG. • TÍCH CỦA THỜI GIAN VÀ KHỔ BĂNG. • CƠNG SUẤT VÀ NĂNG LƯỢNG. • PHÂN TÍCH PHỔ. Trang III.1
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn I. ĐẠI CƯƠNG: Một hệ thống là một tập hợp những định luật liên kết một hàm thời gian ở ngỏ ra với mỗi hàm thời gian ơ ngỏ vào. Sơ đồ khối biểu diễn một hệ thống vẽ ở hình 3. 1. r(t) s(t) Hình 3.1 - Input hay nguồn tin r(t). - Output hay đáp ứng của nguồn tin s(t). Cấu trúc vật lý thực tế của hệ xác định hệ thức chính xác giữa r(t) và s(t). Sự liên hệ giữa Input và Ouput được dùng ký hiệu là mũi tên một chiều. r(t) → s(t) Nếu hệ là một mạch điện, r(t) cĩ thể là điện thế hoặc dịng điện và s(t) cĩ thể là điện thế hoặc dịng điện được đo bất kỳ nơi đâu trong mạch. Một hệ được nĩi là Chồng chất ( Superposition ) nếu đáp ứng do tổng các tín hiệu vào là tổng của các đáp ứng riêng tương ứng. Nghĩa là, nếu s1(t) là đáp ứng của r1(t) và s2(t) là đáp ứng của r2(t) thì đáp ứng của r1(t) + r2(t) là s1(t) + s2(t). Nếu r1 (t) → s1 (t) r2 (t) → s 2 (t) Thì: r1 (t) + r2 (t) → s1 (t) + s 2 (t) (3.1) Một khái niệm liên quan đến tính chồng chất là sự tuyến tính. Giả sử r1(t) → s1(t) và r2(t) → s2(t). Hệ thống được nĩi là tuyến tính nếu hệ thức sau đây được giữ đúng với mọi trị giá của các hằng a và b: a.r1 (t) + b.r2 (t) → a.s1 (t) + b.s 2 (t) (3.2) Một hệ thống được nĩi là “ Khơng đổi theo thời gian “ ( Time invariant ) nếu đáp ứng của một tín hiệu vào khơng phụ thuộc vào thời điểm mà tín hiệu đĩ tác động lên hệ. Một thời trễ ( Time shift ) trong tín hiệu vào sẽ gây ra một thời trễ bằng như vậy trong đáp ứng của nĩ : Nếu r(t) → s(t) Thì r(t − t 0 ) → s(t − t 0 ) ,với mọi t0 thực. Một điều kiện đủ cho một mạch điện khơng đổi theo thời gian là các thành phần của nĩ cĩ trị giá khơng đổi với thời gian ( giả sử các điều kiện đầu khơng đổi ). Đĩ là điện trở, tụ và cuộn cảm. II. HÀM HỆ THỐNG: Để đặc trưng hĩa một hệ thống tuyến tính khơng đổi theo thời gian, ta cĩ thể dùng một phương pháp rất đơn giản. Thay vì cấn biết đáp ứng của mỗi tín hiệu vào, ta chỉ cần biết đáp ứng của một tín hiệu thử (test input) mà thơi. Tín hiệu thử là xung lực. Xem phép chồng: r(t) = r(t) x δ (t) ∞ = rt()τδ(− τ)dτ (3.3) ∫−∞ Ta xem tích phân là trường hợp giới hạn của một tổng: Trang III.2
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn ∞ r(t) = lim r(n∆τ)δ(t − n∆τ)∆τ (3.4) ∆τ→0 ∑ n=−∞ Phương trình (3.4) biểu diễn tổng trọng lượng của xung lực bị trễ. Như vậy, tín hiệu ra là một tổng các đáp ứng ra bị trễ của một xung lực duy nhất. Giả sử, ta biết đáp ứng ra của mạch do một xung lực duy nhất gây ra và ký hiệu đĩ là h(t) (đáp ứng xung lực). Vậy đáp ứng do tín hiệu vào của phương trình (3.4) là: ∞ s(t) = lim r(n∆τ)h(t − n∆τ)∆τ (3.5) ∆τ→0 ∑ n=−∞ Nếu lấy giới hạn, nĩ trở thành tích phân: ∞ s(t) = r(τ)h(t − τ)dτ ∫−∞ (3.6) s(t) = r(t) x h(t) Phương trình (3.6) chứng tỏ rằng đáp ứng của bất kỳ tín hiệu vào nào cũng cĩ thể tìm được bằng cách chồng nĩ với đáp ứng xung lực của hệ thống. Ảnh Fourier của xung lực là 1. Vậy một cách trực giác, ta thấy δ(t) chứa tất cả mọi tần số. Vì thế xung lực thường được xem như là một tín hiệu thử (Test Signal) cho hệ thống. Cho một xung lực ở ngỏ vào hệ thống, ngỏ ra ta cĩ đáp ứng h(t). Căn cứ trên h(t), ta cĩ thể xác định được những đặt trưng của hệ. δ(t) h(t) Hình 3.2: Đáp ứng xung lực Ta khơng thể tạo được một xung lực lý tưởng trong thực tế mà chỉ cĩ thể xem nĩ xấp xỉ với một xung cĩ biên độ thật lớn và rất hẹp. Lấy biến đổi F phương trình (3.6) : S(f) = R(f) H(f) (3.7) Hoặc S(f) (3.8) H(f ) = R(f) H(f) là hàm chuyển hoặc hàm hệ thống. III.HÀM CHUYỂN PHỨC: (complex transfer funtion) Hàm chuyển phức của một hệ là tỉ số phasor ở ngỏ ra và phasor ở ngỏ vào. Phasor là một số phức biểu diễn biên độ và pha của hàm sin. Tỉ số các phasor là một hàm phức của tần số. Trong trường hợp đặt biệt, ngõ vào là dịng điện và ngõ ra là điện thế, thì hàm chuyển phức là một tổng trở phức (complex impedance). Td: Xem Hình 3.3. Trong đĩ, i1 (t) là ngõ vào và v(t) là ngõ ra. Trang III.3
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 3.3 Hàm chuyển cho bởi: 4jπf H(f ) = (3.9) 1+ 4jπf Nếu i2 (t) là Output, hàm chuyển là : 1 H(f ) = (3.10) 1+ 4jπf Ta đã dùng cùng ký hiệu H(f) để chỉ hàm chuyển phức của hệ và đĩ cũng chính là ảnh Fourier của đáp ứng xung lực. H(f)=F[h(t)] IV.CÁC MẠCH LỌC: Các mạch lọc dùng để làm giảm thành phần tần số khơng mong muốn khỏi một sĩng. Nhiều hệ thống thơng tin cĩ chứa các mạch lọc lý tưởng khơng làm méo tín hiệu. Một tín hiệu bị méo (distorted) khi dạng sĩng cơ bản của nĩ bị biến dạng - Lưu ý là r(t) cĩ thể được nhân bởi một hằng và bị dời (thời gian) mà khơng làm thay đổi dạng sĩng cơ bản, trường hợp này khơng xem là tín hiệu bị méo. Xem A.r (t - t0) là một phiên bản của r(t) - Trong đĩ A và t0 là những hằng thực bất kỳ. A khơng thể bằng zero. - j2πf to F → Ar (t - t0) ↔ Ae R(f) (3.11) Ta xem đĩ như là Output của một hệ tuyến tính với input là r(t) và hàm hệ thống t H(f) = Ae- j2πf o (3.12) H(f) là hàm phức, được vẽ ở Hình 3.4 (xuất và pha). Trang III.4
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 3.4: Những đặc tính của một hệ khơng méo. Lọc hạ thơng lý tưởng. Một lọc hạ thơng lý tưởng là một hệ tuyến tính, tác động giống như một lọc lý tưởng khơng méo. Những thành phần tần số lớn hơn tần số cắt của lọc đều bị chặn, khơng xuất hiện ở ngỏ ra. Tần số cắt là tần số cao nhất được đi qua mạch lọc, Ký hiệu là fm. Hàm hệ thống là: − j2πft0 ⎪⎧Ae , f f m Hàm chuyển của mạch hạ thơng lý tưởng được vẽ ở Hình 3.5. Nhớ là, vì h(t) thì thực, nên suất của H(f) thì chẳn và pha thì lẻ. (Hình 3.4) H(f ) A ph H(f ) -fm fm -fm fm Hình 3.5: Đặc tính của lọc hạ thơng lý tưởng. Đáp ứng xung` lực của lọc hạ thơng lý tưỏng cĩ được bằng cách tính biến đổi F ngược. f m h(t) = ∫ Ae− j2πft0 .e j2πft df. (3.13) − f m Asin2πf (t - t ) = m o π (t − t o ) fm Hình 3.6: Đáp ứng xung lực của hạ thơng lý tưởng. Lọc dãy thơng lý tưởng: Lọc dãy thơng lý tưởng cho qua những tần số giữa hai tần số khác khơng, fL và fH. Nĩ tác động như một hệ khơng méo lý tưởng, tín hiệu ra khơng chứa những thành phần tần số nằm ngồi dãy thơng lọc. Hàm hệ thống của nĩ: − j2πft0 ⎪⎧Ae ,f L < f < f H H(f ) = ⎨ (3.14) ⎩⎪0 , Pháưnkhạc Trang III.5
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 3.7: Hàm hệ thống của lọc dãy thơng lý tưởng. Đáp ứng xung lực của lọc, cĩ thể tính bằng càch F -1 của H(f). (Khai triển từ đáp ứng xung lực của lọc hạ thơng và dùng định lý dời tần). Hàm hệ thống cĩ thể viết : ⎛ f L + f H ⎞ ⎛ f L + f H ⎞ H(f ) = H LP ⎜f − ⎟ + H LP ⎜f + ⎟ (3.15) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ fL − fH fH − fL -fH -fL fH fL 2 2 Hình 3.8: Đặc tính của lọc dãy và hạ thơng. Nếu ta định nghĩa điểm giữa (midpoint) của dãy thơng (trung bình của fL và fH) là fav : f + f f = L H av 2 Đáp ứng xung lực cho bởi: j2πfavt -j2πfavt h(t) = hLP(t)e + hLP(t) e = 2hLP(t)cos2πfavt= 2hLP(t)cos[π (fL + fH)t ] (3.16) Từ pt (3.13) ta cĩ : Asinπ(f − f )t h (t) = H L (3.17) LP πt Kết hợp (3.16) và (3.17) thêm vào tính chất dời thời gian, ta tìm được đáp ứng xung lực của dãy thơng lý tưởng: 2Asin[π(f − f )(t − t )]cos[π(f + f )(t − t )] h(t) = H L 0 L H 0 (3.18) π()t − t 0 Trang III.6
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 3.9: Đáp ứng của lọc dãy thơng lý tưởng Dạng sĩng của đáp ứng xung lực tương tự như của lọc hạ thơng. Khi 2 tần số giới hạn trở nên lớn so với hiệu số giữa chúng, đáp ứng xung lực giống đường chấm chấm (đáp ứng xung lực của lọc hạ thơng và ảnh qua gương của nĩ ). Điều đĩ xảy ra khi tần số của dãy lọc lớn hơn so với bề rộng của dãy thơng. Nhận xét này cĩ ý nghĩa khi ta khảo sát về sự biến điệu AM. Sự Méo Dạng: Méo tuyến tính cĩ thể gây ra những vấn đề trong các hệ thống truyền xung hoặc trong thơng tin số. Sự méo này được đặc trưng bởi thời gian lan tỏa (spreading) do hiệu ứng nhiều đường hoặc do đặc tính của kênh. -jθ(f) H(f) = A(f)e (3.19) A(f): Thừa số biên độ ; θ(f): Thừa số pha. Sự méo dạng sinh ra từ hai thừa số phụ thuộc tần số ở phương trình (3.19). Nếu A(f) khơng là hằng, ta cĩ sự méo biên độ. Nếu θ(f) khơng tuyến tính với f, ta cĩ sự méo pha. Méo biên độ. Trước hết Giả sử θ(f) tuyến tính với f. Hàm chuyển cĩ dạng: -j2πfto H(f) = A(f)e (3.20) Trong đĩ hằng số tỉ lệ của pha là t0 , vì nĩ biểu diễn cho thời trễ của kênh. Một cách tổng quát để phân tích biểu thức này với sự biến thiên của biên độ là khai triển A(f) thành chuổi Fonrier. ∞ H(f ) = ∑Hn(f) (3.21) n=0 Các hạng của tổng cĩ dạng ⎛ nπf ⎞ ⎜ ⎟ − j2πft0 H n (f ) = a n cos⎜ ⎟.e (3.22) ⎝ f m ⎠ Chúng ta cĩ thể liên kết với lọc Cosine, mà đặc tuyến biên độ cho sĩng Cosine trong dãy thơng như hình 3.10 (với n = 2). Trang III.7
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 3.10: Lọc cosine Hàm hệ thống của lọc này là: ⎛ ⎞ 2π − j2πft0 H(f ) = ⎜A + acos f ⎟.e ⎝ f m ⎠ ⎧ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎤⎫ −j2πft0 ⎪ 1 1 ⎪ = A.e + a⎨exp⎢j2πf ⎜ − t o ⎟⎥ + exp⎢j2πf ⎜− − t o ⎟⎥⎬ ⎜ f ⎟ ⎜ f ⎟ ⎩⎪ ⎣ ⎝ m ⎠⎦ ⎣ ⎝ m ⎠⎦⎭⎪ Nếu input là r(t) vào lọc cosine bị giới hạn bởi băng tần thì Output là: a ⎛ 1 ⎞ a ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ s(t) = A.r(t − t 0 ) + r⎜ t + − t o ⎟ + r⎜ t − − t o ⎟ (3.23) 2 ⎝ f m ⎠ 2 ⎝ f m ⎠ Phương trình (3.23) cho thấy đáp ứng cĩ dạng của một phiên bản khơng méo của input cộng thêm 2 phiên bản bị dời thời gian (time - shifted) ( tiếng vang / đa lộ ) echoes/multipaths. Trở lại trường hợp lọc tổng quát, ta thấy Output của một hệ với sự méo biên độ là một tổng các input bị trễ. Vậy với: ∞ ⎛ nπf ⎞ ⎜ ⎟ − j2πft0 H(f ) = ∑a n cos⎜ ⎟.e (3.24) n=0 ⎝ f m ⎠ Thì Output do một input r(t) là : ∞ a n ⎡ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎤ s(t) =+∑ ⎢rt⎜ −tro ⎟ +−⎜t −t o ⎟⎥ (3.25) n0= 2 ⎣ ⎝ 2f m ⎠ ⎝ 2f m ⎠⎦ Thí dụ: Xem lọc cĩ đặc tính tam giác như Hình 3.11. Giả sử pha thì tuyến tính, với độ dốc 400πt -2πt0. Tìm Output của mạch này khi input là r(t) = sin t Hình 3.11 Giải : Khai triển H(f) thành chuổi F 1 4 πf 4 3πf 4 5πf H(f ) = r + cos + cos + cos + 2 π2 1000 9π2 1000 25π2 1000 Trang III.8
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn r(t) bị giới hạn trong khoảng sao cho tất cả tần số đều qua mạch lọc. Điều này đúng vì R(f) = 0 tại các tần số trên 200/2π và mạch lọc cắt tại f = 1000/π. Nếu ta giữ 3 số hạng khác khơng đầu tiên thì Output sẽ là: s(t) = r(t) * h(t). 1 2 ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ s(t) = r()t − t o + 2 ⎢r⎜ t − − t o ⎟ + r⎜ t + − t o ⎟⎥ 2 π ⎣ ⎝ 1000 ⎠ ⎝ 1000 ⎠⎦ 2 ⎡ ⎛ 3ππ⎞ ⎛ 3 ⎞⎤ +−rt −tr++t −t 2 ⎢ ⎜ 00⎟ ⎜ ⎟⎥ 9π ⎣ ⎝ 1000 ⎠ ⎝ 1000 ⎠⎦ Kết quả này được vẽ như hình 3.12 với to = 0,05 sec. Những đỉnh đánh dấu X là những đỉnh khơng méo của s(t). Hình 3.12 Méo pha : Sự thay đổi pha từ trường hợp khơng méo (pha tuyến tính) cĩ thể được đặc trưng bằng sự thay đổi độ dốc của đặc tuyến pha và đặc tuyến của một đường từ gốc đến một điểm trên đường cong đặc tuyến. Ta định nghĩa Trễ nhĩm (Group delay hay trễ bao hình) và trễ pha (Phase delay) như sau: dθ(f ) tgr (f) df θ(f) tph (f) (3.26) 2πf Hình 3.13 : Trễ nhĩm và trễ pha. * Đối với một kênh Khơng méo lý tưởng, đặc tuyến pha là một đường thẳng. Vậy trễ nhĩm và trễ pha đều khơng đổi với mọi f. Thật vậy, cả hai sẽ bằng với thời trễ t0 của tín hiệu vào. Trang III.9
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn V.CÁC LỌC THỰC TẾ: Bây giờ ta trình bày những mạch thực tế, xấp xỉ với các lọc dãy thơng và hạ thơng lý tưởng. Giả sử rằng H(f) tiến đến hàm hệ thống của một lọc lý tưởng - Một sự thay đổi nhỏ của H(f) cĩ thể đưa đến một sự thay đổi tương đối lớn của H(t). Ta cĩ thể khảo sát những hậu quả của sự thay đổi từ tính chất biên độ khơng đổi hoặc từ tính chất tuyến tính của pha của hàm hệ thống của lọc lý tưởng. Lọc hạ thơng: Mạch thụ động đơn giản nhất xấp xỉ với một lọc hạ thơng là mạch chỉ chứa một thành phần tích trữ năng lượng. Thí dụ mạch RC như Hình 3.13 . Điều này đúng, vì khi tần số tăng, tụ xem như bị nối tắt. i(t) Hình 3.13: Lọc hạ thơng RC Hàm chuyển: 1/ j2πfC 1 H(f) = = (3.27) R(+ 1/j2πfC) 1j+ 2πfRC Suất và pha: 1 H(f ) = 1+ (2πfRC)2 θ (f) = - tan-1 (2πfRC) 1 1 Nếu đặt RC = , suất của hàm chuyển giảm đến tại tần số 1 Hz. Ta gọi đĩ là tần 2π 2 số cắt 3 db của lọc. Hình 3. 14 chỉ suất và pha của mạch RC, so sánh với đường cong độ lợi của một lọc hạ thơng lý tưởng cĩ tần số cắt 1Hz. Trang III.10
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 3.14: Các đặc tuyến của lọc RC Ta xem đáp ứng xung lực của 2 hệ thống. - Đối với lọc hạ thơng lý tưởng: sin 2π(t − t ) h(t) = o (3.28) πt - Đối với mạch RC, với RC = 2π: π t h(t) = e - 2 (3.29) Trang III.11
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hai đáp ứng này vẽ ở Hình 3.15. Ở đây, ta đã chọn tùy ý thời trễ của mạch hạ thơng lý tưởng là 10 sec để hình vẽ dễ phân biệt. Hình 3.15: So sánh các đáp ứng xung lực. Bây giờ hãy xem sĩng vuơng vào hai mạch lọc. Ta dùng một sĩng vuơng cĩ tần số cơ bản là 1/4Hz (bằng cách dùng số hạng đầu tiên khác zero của chuỗi Fourier), hình 3.16a. Lọc hạ thơng lý tưởng với tần số cắt 1Hz chỉ cho qua hai số hạng đầu tiên khác Zero (đĩ là, tần số 1/4Hz và 3/4Hz). Trong khi đĩ, mạch RC (với sự giảm 3dB ở 1 Hz)làm méo đáng kể các thành phần này (Hình 3.16b). Khơng chỉ thế, nĩ cịn thu nhận năng lượng tín hiệu tại tần số cắt. Trang III.12
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 3.16: So sánh đáp ứng của sĩng vuơng với 2 lọc. Cĩ một vài loại mạch xấp xỉ với lọc hạ thơng lý tưởng. Mỗi loại biểu lộ những tính chất riêng. 1. Lọc Butteworts làm mất sĩng dư trong dãy tần số đi qua và làm giảm các tần số khơng mong muốn ngồi dãy này. Nĩ được xem là loại lọc làm phẳng tối đa. 2. Lọc Chebyshev giảm các tần số khơng mong muốn hiệu quả hơn lọc Butteworts, nhưng làm phẳng sĩng dư kém hơn. 3. Các lọc cổ điển quan trọng khác gồm lọc Bessel, Papoulis, Gauss. Ta chú ý đến lọc Butteworts: Biên độ của lọc hạ thơng lý tưởng cĩ thể tính xấp xỉ bởi hàm: 1 H n (f ) = (3.30) 1+ (2πf )2n Hàm này được vẽ, với vài trị giá của n, như hình 3.17. Ta chỉ vẽ nữa dương của trục f, vì 1 hàm chẳn. Chọn fm = cho hình vẽ. (Khi thiết kế cĩ thể chọn bất kỳ tần số cắt nào). Nhớ là 2π khi n chọn lớn, đặc tuyến Butteworts sẽ tiến đến đặc tuyến của lọc hạ thơng lý tưởng. Trang III.13
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Nếu h(t) thực (Vì là hệ thống vật lý ), phần thực của H(f) chẳn, trong khi phần ảo lẽ. Vậy : H(f) = H * (-f ) (3.31) 2 và ⏐H (f)⏐ = H(f)H*(f) (3.32) Từ đĩ, kết hợp với phương trình (3.30), đủ để thiết kế các lọc Butteworts. fm=1/2π Hình 3.17: Hàm độ lợi Butteworts 1 Tương đương. Thiết kế một lọc Butteworts cấp 3 (n = 3) với tần số cắt fm = 2π Giải: Từ phương trình (3.30) ta cĩ: 2 1 H(f ) 1+ (2πf )6 Đổi nĩ về biến đổi laplace bằng cách đặt s = j2πf. Quan sát vị trí tương đối của các lực và zero của hàm: 2 1 H(s) = H(s).H(−s) = 1−S6 Các lực của ⏐H(s)⏐2 là 6 nghiệm đơn vị. Chúng cách điều nhau quanh vịng trịn đơn vị. Ba cực kết hợp với H(S) ba nữa mặt phẳng trái. Ba cực kia với H(-S). Vậy H(S) được tính từ các lực của nĩ: 1 1 H(S) = = 3 2 (3.33) (S− P1 )(S− P2 )(S− P3 ) S + 2S + 2S+1 Hình 3.18: 6 nghiệm Nếu v (t) là đáp ứng và i(t) là nguồn, hàm hệ thống của phương trình (3.33) tương ứng với mạch của hình hình 3.19a. Trang III.14
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 4/3h i(t) 1.5uF 0.5uF 1 v(t) (a) (b) Hình 3.19: Lọc Butteworts cấp 3 Những mạch lọc cấp cao hơn sẽ được làm đầy đủ bằng cách dùng thêm mắt lọc. Linh kiện thêm vào là cuộn cảm nối tiếp, tụ song song. Lọc dãy thơng Mạch thụ động đơn giản nhất xấp xỉ với một lọc dãy thơng lý tưởng là mạch chứa hai thành phần tích trữ năng lượng. Tương đương như mạch RLC vẽ ở hình 3.20: Hình 3.20: Lọc dãy thơng RLC Nếu output lấy ngay qua LC đấu song song, thì mạch trên xấp xỉ với một lọc dãy thơng. Điều này đúng, vì khi tần số tiến đến zero, cuộn cảm xem như bị nối tắt. Và khi tần số tiến đến ∞, tụ xem như bị nối tắt. Như vậy đáp ứng của mạch tiến đến 0 ở cả hai đầu và cực đại ở giữa. j2πfL H(f ) = (3.34) R − (2πf )2 RLC+ j2πfL Suất: Trang III.15
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 1 H(f ) = 2 2 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ R ⎢⎜ ⎟ − 2πfC⎥ +1 ⎣⎝ 2πfL ⎠ ⎦ 1 Suất cực đại tại 2πf = . Điều này được xem như là tần số cộng hưởng lý tưởng LC của lọc. Hình 3.21 chỉ đặc tính của mạch RLC. Ở đĩ, ta chọn R= L= C= 1. Hình 3.21: Các đặc tính của lọc RLC - 1 Đáp ứng xung lực của mạch RLC được cho bởi biến đổi ngược F t/ h(t) = 1,15 e- 2 sin (1,15t) Nĩ được so sánh với đáp ứng xung lực của lọc dãy thơng lý tưởng (phương trình (3.18)) 2Asin[π(f − f )(t − t )]cos[π(f + f )(t − t )] h(t) = H L o H L o π(t − t o ) Trang III.16
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 3.22 : So sánh những đáp ứng xung lực. Hình 3.22 cho thấy đáp ứng xung lực của mạch RLC và của mạch dãy thơng lý tưởng. Ta chọn fH = 0,1Hz và fL = 0,25Hz là các điểm 3db nhớ là hệ số Q của mạch RLC thì rất thấp vì tỉ số của độ rộng kênh và tần số giữa gần bằng 1. VI.CÁC LỌC TÁC ĐỘNG: Ở phần trên ta đã khảo sát vài mạch lọc thực tế đơn giản dùng cuộn cảm, tụ và điện trở. Những mạch lọc như vậy gọi là lọc thụ động, vì tất cả các thành phần ấy hoặc hấp thu hoặc tích trữ năng lượng. Một mạch lọc gọi là tác động nếu nĩ chứa các thành phần cịn lại của một mạch. Lọc tác động khơng hấp thu năng lượng tín hiệu mong muốn, như các lọc thụ động. Chúng cĩ nhiều khả năng được thiết kế đơn giản và các hàm chuyển cĩ thể thực hiện được (Trong khi các lọc thụ động, trong vài áp dụng, thí dụ lọc audio, cần đến rất nhiều cuộn cảm và tụ ). Bộ phận cơ bản xây dựng các lọc tác động là op.amp. Các tính chất của op.amp, việc phân tích và thiết kế các lọc tác động là phần rất quan trọng của điện tử học. Nhưng ở đây ta sẽ khơng lặp lại. Chỉ giới thiệu hai loại lọc tác động tiêu biểu. Hình 3.23: Op.amp với hồi tiếp Zin : Tổng trở vào Zf : Tổng trở hồi tiếp. Hai hình, hình 3.24 và hình 3.25 biểu diễn lọc hạ thơng tác động và lọc dãy thơng tác động dùng op.amp. Trang III.17
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 3.24: Lọc hạ thơng tác động Trang III.18
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 3.25: Lọc dãy thơng tác động VII.TÍCH CỦA THỜI GIAN VÀ KHỔ BĂNG. Vấn đề cần lưu tâm trong việc thiết kế một hệ thơng tin là khổ băng (band width, độ rộng băng ) của hệ thống. Khổ băng là khoảng tần số của hệ cĩ khả năng hoạt động. Khổ băng cĩ liên quan đến biến đổi f của hàm thời gian. Nĩ khơng thể xác định trực tiếp từ các số hạng của hàm, trừ khi ta dùng các biểu thức trực quan về sự thay đổi trị giá của hàm nhanh đến mức nào. Những đại lượng vật lý quan trọng trong việc thiết kế hệ thơng tin bao gồm thể tối thiểu của một xung và thời gian tối thiểu mà trong đĩ output của hệ cĩ thể nhảy từ một mức này đến một mức khác. Ta sẽ chứng tỏ 2 đại lượng này cĩ liên quan đến khổ băng. Trang III.19
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Bắt đầu từ một ví dụ và rồi tổng quát hĩa kết quả. Đáp ứng xung lực của một lọc hạ thơng lý tưởng: sin 2πf (t − t ) h(t) = m o (3.35) π(t − t o ) h(t) Hình 3.26: Đặc tính của lọc hạ thơng lý tưởng. Cĩ hai nhận xét: 1- Bề rộng của vành lớn nhất của h(t) là 1/fm. Vậy nĩ tỉ lệ nghịch với khổ băng của tín hiệu. Thực vậy, vì khổ băng (Hiệu của tần số cao nhất và thấp nhất ) là fm , nên tích của độ rộng xung với khổ băng là 1. 2 - Vì hàm nấc là tích phân của xung lực, nên đáp ứng của hàm nấc là tích phân của đáp ứng xung lực. Đáp ứng hàm nấc vẽ ở hình 3.27. Ta thấy rằng thời gian tăng (rise time) của đáp ứng này thì tỷ lệ nghịch với khổ băng của lọc. Thời gian tăng được định nghĩa là thời gian cần cho một tín hiệu đi từ trị giá đầu đến trị giá cuối dọc theo một đường dốc với hệ số gĩc khơng đổi bằng với độ dốc tối đa của hàm. Hình 3.27 : Đáp ứng nấc của lọc hạ thơng. Độ dốc tối đa của a(t) là trị tối đa của h(t) đạo hàm của nĩ. Trị này được cho là 2fm. Vậy thời gian tăng của đáp ứng nấc : 1 t r = (3.36). 2fm Vì khổ băng của lọc là fm , ta thấy tr và khổ băng tỉ lệ ngược và tích của chúng là 0.5. Mặc dù ta chỉ quan sát sự quan hệ ngược giữa thời gian tăng và khổ băng (hay độ rộng xung và khổ băng) đối với lọc hạ thơng lý tưởng, nhưng điều này cĩ thể áp dụng một cách tổng quát. Đĩ là, thời gian thì tỉ lệ ngược với khổ băng trong bất kỳ hệ thống nào. Tích của chúng là một hằng. Bây giờ ta áp dụng nhận xét ấy vào trường hợp đặc biệt của khổ băng và độ rộng xung (Khổ xung - Pucse Width). Giả sử rằng một hàm thời gian và biến đổi F của nĩ vẽ ở hình 3.28. Trang III.20
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Ta định nghĩa khổ xung T là chiều rộng của một hình chữ nhật mà chiều cao của nĩ định tại s(0), và diện tích bằng với diện tích nằm dưới đường biểu diễn xung. Nhớ rằng nĩ khơng phải là một định nghĩa đầy đủ trừ khi s(0) là cực đại của dạng sĩng. Hình 3.28: Khổ xung và khổ băng. Tương tự, ta định nghĩa khổ băng BW, bằng cách dùng một xung trong phạm vi tần số (biến đổi F ) như hình 3.28b. Ta cĩ : ∞ ∫ S(t)dt T −∞ S(o) ∞ ∫ S(f)dt BW −∞ (3.37) S(o) Tích của chúng : ∞ ∞ ∫ s(t)dt∫ S(f)dt TBW = −∞ −∞ (3.38) s(o)S(o) Dùng tích phân biến đổi F để tìm: ∞ ∞ j2πft S(0) = s(t)e dt f =o = s(t)dt (3.39) ∫−∞ ∫−∞ Biến đổi ngược để tìm: ∞ ∞ j2πft s(0) = S(f)e df t=o = S(t)df (3.40) ∫−∞ ∫−∞ Thay thế (3.39), (3.40) vào (3.38) : TBW = 1 (3.41) Tích của khổ xung và khổ băng bằng 1. Hai thơng số này thì tỉ lệ ngược. Điều này rất cĩ ý nghĩa trong hệ thơng tin số, ở đĩ nhịp truyền bit bị giới hạn bởi khổ băng của kênh. VIII.CƠNG SUẤT VÀ NĂNG LƯỢNG. Chủ đích đầu tiên của nhiều hệ thơng tin là làm tăng tín hiệu đồng thời nén nhiễu. Đặc biệt hơn, ta muốn làm giảm cơng suất nhiễu ở ngỏ ra của hệ mà khơng làm giảm cơng suất tín hiệu: Hệ làm tăng tỷ số S/N. Gọi Er là năng lượng của r(t): ∞ 2 E r = r (t) dt (3.42) ∫−∞ Nếu r(t) là điện thế hoặc dịng điện ngang qua điện trở 1Ω, Er sẽ là năng lượng tiêu tán nhiệt (W/sec). Trang III.21
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Đối với những tín hiệu khơng bị giới hạn thời gian, Er thường là vơ hạn. Thí dụ, r(t) là một hằng khác zero. Trong trường hợp này, ta phân chia năng lượng với thời gian trung bình, gọi là cơng suất trung bình Pr . T 2 1 2 Pr r (t) = lim r(t) dt (3.43) av t→∞ ∫ 2T −T Ta đã chủ tâm chuyển bình phương ra ngồi dấu trị tuyệt đối để nhấn mạnh rằng cả hai vị trí điều cĩ cùng kết quả. Nếu Er hữu hạn, Pr là zero và nếu Pr khác zero, Er phải vơ hạn. Người ta chia tín hiệu thành 3 nhĩm dựa vào tính bị giới hạn của cơng xuất và năng lượng. - Nhĩm I: Pr = 0. Nhĩm này chứa những tín hiệu cĩ năng lượng hữu hạn. Phổ biến nhất là tín hiệu bị giới hạn thời gian. - Nhĩm II: 0 < Pr < ∞ . Nhĩm này chứa những tín hiệu cĩ cơng xuất hữu hạn. Phổ biến nhất là tín hiệu thời gian tuần hồn. - Nhĩm III: Pr → ∞ . Nhĩm này cĩ tính hịan chỉnh. Nhưng ta khơng gặp những tín hiệu cĩ cơng xuất vơ hạn trong thực tế. Vài tín hiệu, thú vị về mặt lý thuyết, thích nghi với nhĩm này, thí dụ như đồn xung lực tuần hồn. IX. PHÂN TÍCH PHỔ: Biến đổi F khơng hiện hữu trong đời sống thực tế. Nĩ là một cơng cụ tốn học để giúp phân tích hệ thống. Cĩ những giới hạn nghiêm ngặt khi ta cố gắng tìm biến đổi F của một hàm thời gian được dùng trong một hệ Analog. Giả sử r(t) là input của một lọc hạ thơng lý tưởng, cĩ hàm chuyển H(f) như hình 3.29. Biến đổi F cho bởi: ⎧R(f ) , f L < f < f H S(f ) = ⎨ ⎩0 , pháưnkhạc s(t) được cho bởi biến đổi ngược của S(f) Hình 3.29 fH −fL s(t) = ∫R(f )e j2πft df + ∫R(f )e j2πft df (3.44) fL −fH Nếu fH rất gần với fL (lọc dãy hẹp - narrwband filter), ta giả sử rằng xấp xỉ khơng đổi trên tồn khoảng của tích phân. Như vậy, nếu fav là tần số giữa của dãy lọc, ta cĩ: j2πfavt -j2πfavt s(t) ≈ ( fH + fL )[R(fav) e + R(-fav) e ] (3.45) Vì R(-fav) = R * (fav), ta cĩ: s(t) = (f H + fL ) R(fav ) cos[2πfavt + ∠R(fav )] (3.46) Trang III.22
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Suất của output thì tỉ lệ với suất của biến đổi F của input tính tại fav . Pha thì bị dời bởi pha của R(fav). Trong rất nhiều mạch phân tích phổ thực tế, lọc dãy thơng được quét ngang bởi một khoảng tần số, và suất của output thay đổi xấp xỉ với ⏐R(f)⏐. Cĩ 3 nguồn sai số (error ). Thứ nhất, trong khi lọc dãy thơng thì hẹp, khổ băng của nĩ thì khác zero. Điều này ảnh hưởng đến độ phân giải output. Thứ hai, lọc thì khơng lý tưởng. Cuối cùng, khi tần số giữa lọc thay đổi với thời gian (khi nĩ bị quét), output khơng nhất thiết tiến đến trị đúng của nĩ (steady state). Thời gian tăng của lọc thì tỉ lệ nghịch với khổ băng của nĩ. Vậy, lọc càng hẹp, càng được quét chậm hơn. Trang III.23
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Chương IV: BIẾN ĐIỆU BIÊN ĐỘ • ĐẠI CƯƠNG. • SỰ BIẾN ĐIỆU ( MODULATION). • BIẾN ĐIỆU BIÊN ĐỘ SĨNG MANG BỊ NÉN 2 BĂNG CẠNH: (DSB SCAM). ( DOUBLE - SIDE BAND SUPPRESSED CARRIED AMPLITUDE MODULATION ). • BIẾN ĐIỆU BIÊN ĐỘ SĨNG MANG ĐƯỢC TRUYỀN 2 BĂNG CẠNH. • HIỆU SUẤT. • CÁC KHỐI BIẾN ĐIỆU. • CÁC KHỐI HỒN ĐIỆU ( DEMODULATORS). • TRUYỀN MỘT BĂNG CẠNH (SINGLE SIDEBAND) SSB. • BIẾN ĐIỆU AM TRỰC PHA. • BIẾN ĐIỆU BĂNG CẠNH SĨT ( VESTIGIAL SIDEBAND ) VSB. • AM STEREO. Trang IV.1
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn ĐẠI CƯƠNG Hình 4.1 trình bày một mẫu dạng sĩng của tiếng nĩi mà ta muốn truyền đi. Nĩ khơng cĩ một đặc trưng riêng biệt nào và tùy thuộc rất nhiều vào âm thanh được tạo ra. Vì dạng sĩng chính xác khơng được biết, nên ta cĩ thể nĩi như thế nào về hệ thống cần thiết để truyền nĩ ? Trong trường hợp tiếng nĩi ( hay bất kỳ một tín hiệu Audio nào ), câu trả lời dựa vào sinh lý học. Tai người ta chỉ cĩ thể đáp ứng với những tín hiệu cĩ tần số khoảng dưới 15kHz ( số này giảm theo tuổi tác ). Vậy nếu mục đích cuối cùng của ta là nhận những tín hiệu audio, phải giả sử rằng ảnh F của tín hiệu là zero khi f >15kHz. S(f) = 0 , f > fm ; Với fm = 15kHz . Hình 4.1: Dạng sĩng của tiếng nĩi Những hịa âm hoặc những dụng cụ phát âm khác, cĩ thể tạo ra những thành phần tần số cao hơn 15kHz, dù tai người khơng thể nghe được. Tuy nhiên, nếu một trong những tín hiệu nay đi qua một lọc hạ thơng cĩ tần số cắt 15kHz, thì ngỏ ra của lọc ( nếu đưa đến loa ) sẽ tạo lại giống như tín hiệu vào. Như vậy, ta đã giả sữ rằng tín hiệu đã bị giới hạn bởi một tần số trên ( upper frequency ) vào khoảng 15kHz. Bây giờ ta giả sử lấy một tín hiệu audio và cố truyền qua khơng khí - Bước sĩng của tín hiệu 3KHz trong khơng khí khoảng 100km. Một anten 1/4 sĩng sẽ dài 25km! Điều ấy khơng thể thực hiện. Và nếu giả sử ta cĩ thể dựng được anten thì ta cịn gặp phải 2 vấn đề. Thứ nhất, liên quan đến những tính chất của khơng khí và tần số audio. Những tần số này truyền khơng hiệu quả trong khơng khí. Thứ hai, sự giao thoa do các dãy tần các đài phát phủ lên nhau. Vì những lý do đĩ, ta phải cải biến tín hiệu tần số thấp trước khi gửi nĩ đi từ nơi này đến nơi khác. Tín hiệu đã cải biến ít nhạy cảm với nhiễu so với tín hiệu gốc. Phương pháp chung nhất để thực hiện sự cải biến là dùng tín hiệu tần số thấp để biến điệu ( cải biến những thơng số của ) một tín hiệu tần số cao hơn. Tín hiệu nầy thường là hình sin. SỰ BIẾN ĐIỆU SC(t) là tín hiệu hình sin cao tần, được gọi là sĩng mang (carrier). Gọi như thế vì nĩ được dùng để chuyển tải tín hiệu tín tức từ đài phát đến máy thu. SC(t) = Acos (2πfet+θ) (4.1) Nếu fC(t) được chọn thích hợp, sĩng mang cĩ thể được truyền đi cĩ hiệu quả. Thí dụ, cĩ thể chọn những tần số trong khoảng giữa 0.5 và 3MHz để truyền xa đến 250 km. Bước sĩng của các tần số tương ứng cỡ 100MHz, và chiều dài hợp lý của anten cĩ thể chấp nhận được: c 3.108 λ = = = 3m f 108 Biểu thức (4.1) chứa 3 thơng số cĩ thể thay đổi: biên độ A; tần số fC; và pha θ. Như vậy, hậu quả là cĩ 3 kiểu biến điệu: biến điệu biên độ, biến điệu tần số hoặc biến điệu pha. Trang IV.2
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn BIẾN ĐIỆU BIÊN ĐỘ SĨNG MANG BỊ NÉN 2 BẰNG 2 CẠNH: (DSB SCAM) ( double - side band suppressed carried amplitude modulation ). Nếu ta biến điệu biên độ của sĩng mang ở phương trình (4.1), ta cĩ kết quả: Sm(t) = A(t) cos ( 2πfCt+θ ) (4.2) Tần số fC và pha θ khơng đổi Biên độ A(t) thay đổi cách này hay cách khác theo s(t). Để đơn giản, ta giả sử θ = 0. Điều này khơng ảnh hưởng đến kết quả căn bản vì gĩc thực tế tương ứng với một độ dời thời gian θ . ( Một sự dời thời gian khơng được xem là sự méo 2πfc dạng trong một hệ thơng tin ). A(t) thay đổi như thế nào với s(t)? Câu trả lời đơn giản nhất là chọn A(t) bằng với s(t). Điều đĩ sẽ đưa đến dạng sĩng biến điệu AM. sm(t) = s(t) cos 2πfCt (4.3) Tín hiệu loại nay gọi là biến điệu AM sĩng mang bị nén 2 băng cạnh vì những lý do mà ta sẽ thấy ngay sau đây: Đặt S(f) là biến đổi F của s(t). Nhớ là ta khơng cần gì hơn là S(f) phải bằng zero đối với những tần số cao hơn tần số cắt fm. Hình 4.2 chỉ một S(f) biểu diễn cho yêu cầu đĩ. Đừng nghĩ rằng S(f) luơn phải là như vậy, mà nĩ chỉ là biến đổi F của một tín hiệu tần số thấp tổng quát, cĩ dãy tần bị giới hạn. Hình 4.2 Định lý về sự biến điệu ( chương II ) được dùng để tìm Sm(f): 1 Sm(f) = F [s(t)Cos2πfCt] = [S (f + fC) + S (f - fC)] (4.4) 2 Nhớ là biến điệu một sĩng mang bằng s(t) sẽ làm dời tần số của s(t) ( cả chiều lên và chiều xuống ) bởi tần số của sĩng mang. 1 1/2 Hình 4.3 Điều này tương tự với kết quả lượng giác của một phép nhân một hàm sin với một hàm sin khác. Trang IV.3
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 1 1 CosA CosB = Cos(A+B) + cos (A-B) (4.5) 2 2 Nếu cosA thay bằng s(t), trong đĩ s(t) chứa những tần số liên tục từ giữa 0 và fm. Hình 4.3 cho thấy, sĩng biến điệu sm(t) chứa những tần số trong khoảng fC - fm và fC + fm. Nếu gán những trị tiêu biểu vào cho fm = 15kHz và fC = 1MHz, ta sẽ thấy khoảng tần số bị chiếm bởi sĩng biến điệu là từ 985.000 đến 1.015.000Hz. - Thứ nhất: Với khoảng tần số này, thì thì anten cĩ chiều dài hợp lý cĩ thể xây dựng được. Đĩ là một trong 2 vấn đề cần giải quyết. - Vấn đề thứ hai, là khả năng tách kênh trong một hệ đa hợp (Multiplexing). Ta thấy, nếu một tin tức biến điệu một sĩng hình sin tần số fC1 và một tin tức khác biến điệu một sĩng hình sin tần số fC2 thì các ảnh F của 2 sĩng mang bị biến điệu sẽ khơng phủ lên nhau. Và fC1, fC2 tách biệt nhau ít nhất là 2fm. ∆f > 2fm Hình 4.4: Biến đổi F của 2 sĩng AM. Nếu các tần số của 2 sĩng biến điệu khơng cách nhau xa lắm, cả 2 cĩ thể dùng 1 anten, mặc dù chiều dài tối ưu của anten khơng như nhau cho cả 2 kênh [trong thực tế, một anten được dùng cho cả 1 khoảng tần số. Ta nhấn mạnh lại rằng, các tín hiệu cĩ thể được tách ra nếu chúng khơng bị phủ lên nhau ( hoặc về thời gian, hoặc về tần số ). Nếu chúng khơng phủ nhau về thời gian, cĩ thể dùng các cổng hay các Switchs để tách. Nếu chúng khơng phủ về tần số, các tín hiệu cĩ thể tách ra bởi các lọc dãy thơng. Vậy, một hệ thống như hình 4.5 cĩ thể dùng để tách sĩng mang bị biến điệu. H1(f) 1 -fc1 fc1 BPF H (f) 1 s1(t). Cos2πfC1t H2(f) s1(t).cos2πfc1t + 1 s2(t).cos2πfc2t H2(f) s2(t). Cos2πfC2t -fc2 fc2 Hình 4.5: Sự tách 2 kênh. Trang IV.4
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Nếu nhiều tín hiệu được truyền trên cùng một kênh, chú ý cĩ thể được tách ra tại máy thu bằng các lọc dãy thơng. Các lọc này chỉ tiếp nhận, một trong các tín hiệu hiện diện trong tín hiệu biến điệu mong muốn. TD: Một tín hiệu chứa thơng tin cĩ dạng: sin2πt s(t) = t Tín hiệu này biến điệu biên độ một sĩng mang cĩ tần số 10Hz. Hãy vẽ dạng sĩng AM và biến đổi F của nĩ. Giải: Sĩng AM được cho bởi phương trình: sin2πt sm(t) = cos 20πt t Hàm này được vẽ như hình 4.6: Hình 4.6: Dạng sĩng AM cos 20πt là sĩng mang. k - Khi sĩng mang bằng 1 ( t = ), sm (t) = s(t). 10 k 1 - Khi sĩng mang bằng -1, t = + , sm(t) = -s(t). 10 20 Để vẽ dạng sĩng AM. Ta bắt đầu vẽ s(t) và ảnh qua gương của nĩ -s(t). Sĩng AM chạm một cách tuần hồn vào mỗi đường cong này và thay đổi biên đơ giữa những điểm tuần hồn đĩ. Trong hầu hết trường hợp thực tế, tần số sĩng mang cao hơn rất nhiều so với thí dụ trên. Biến đổi F của s(t) được vẽ ở hình 4.7 ( Xem phụ lục chương II ) Hình 4.7: Ảnh Fourier của s(t) Biến đổi F của sĩng biến điệu được tính nhờ định lý biến điệu. S(f -10) + S(f + 10) Sm(f) = (4.7) 2 Trang IV.5
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 4.8: Tần phổ của sĩng biến điệu Vì Sm (f) được suy từ S(f) bằng cách dời tất cả các thành phần tần số của s(t) một khoảng là fC, ta sẽ cĩ thể hồi phục lại s(t) từ sm(t) bằng cách dời các tần số bởi cùng một trị theo chiều ngược lại. Định lý biến điệu chứng tỏ rằng phép nhân một hàm thời gian với một hàm Sinusoide sẽ dời ảnh F của hàm thời gian đi ( cả chiều lên và xuống ) trong miền tần số. Vậy nếu ta lại nhân Sm(t) với một hàm sin ( tần số sĩng mang ), thì ảnh F sẽ dời lui xuống đến tần số thấp của nĩ. Phép nhân này cũng dời ảnh F lên đến 1 vị trí giữa khoảng 2fC, những thành phần này dễ dàng bị loại bởi một lọc hạ thơng. Tiến trình này vẽ ở hình 4.9. Sự hồi phục của s(t) được mơ tả bởi phương trình (4.8) sm(t). cos 2πfCt = [ s(t) cos 2πfCt ] cos 2πfCt 2 = s(t) cos 2πfCt st()+ st()cos 4πf t = C (4.8) 2 Ngỏ ra lọc hạ thơng là st()/2 sm(f) Hình 4.9: Sự hồi phục tín hiệu từ sĩng biến điệu. Tiến trình này gọi là hồn điệu ( Demodulation ). BIẾN ĐIỆU BIÊN ĐỘ SĨNG MANG ĐƯỢC TRUYỀN 2 BĂNG CẠNH ( Double - Side Band Transmitted Carrier AM ). DSBTCAM. Bây giờ ta cải biến thêm sự biến điệu AM, bằng cách cộng vào sĩng biến điệu một phần của sĩng mang. Trang IV.6
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn s(t) Hình 4.10. Hình 4.10 chỉ sự cộng một sĩng mang hình sin thuần túy vào sĩng biến điệu DSBSCAM. Kết quả cho bởi phương trình (4.8) sm(t) = s(t) cos 2πfCt + A cos 2πfCt (4.9) Đây là kiểu biến điệu AM sĩng mang được truyền 2 băng cạnh. ( DSBTC AM). Khác với kiểu AM sĩng mang bị nén 2 kiểu AM sĩng mang được truyền cĩ chứa một thành phần rỏ ràng của sĩng mang ( A cos 2πfCt ). Ảnh F của TCAM là tổng của biến đổi F của SCAM và biến đổi F sĩng mang thuần túy. Biến đổi sĩng mang là một cặp xung lực ± fC. Hình 4.11: Biến đổi F của TCAM Dạng sĩng cĩ thể viết lại ( Từ phương trình 4.9 ) sm(t) [A+s(t)] cos 2πfCt (4.10) Hàm này cĩ thể vẽ theo cách vẽ dạng sĩng SCAM. Trước hết, ta vẽ đường biên [A+s(t)] và ảnh qua gương -[ A + s(t)]. Sĩng AM chạm tuần hồn vào 2 đuờng biên và thay đổi biên độ điều giữa những điểm tuần hồn đĩ. Hình vẽ 4.12, cho một s(t) hình sin ( thí dụ tiếng huýt sáo vào một microphone ). - Hình 4.12a Tín hiệu s(t) hình sin - Hình 4.12b Dạng sĩng DSBTCAM với giá trị của A nhỏ hơn biên độ a của s(t); A a; A≠0. - Hình 4.12d Dạng sĩng DSBTCAM khi A=0. Trang IV.7
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 4.12 Trang IV.8
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Hình 4.12 HIỆU SUẤT Sự cộng thêm sĩng mang vào sĩng biến điệu sẽ làm cho sự hồn điệu dễ dàng hơn. Cái giá mà ta phải trả là hiệu suất. Một phần của năng lượng được truyền dùng để gửi sĩng mang và như vậy khơng mang một thơng tin hữu ích nào. Ta thấy từ phương trình (4.9) : Cơng suất sĩng mang là cơng suất của A cos2πfCt, hay A2 2 2 watts. Cơng suất của tín hiệu là cơng suất của s(t) cos2πfCt, là trị trung bình của s (t) chia 2 2. Cơng suất trung bình của s (t) thì đơn giản là của s(t), hay PS. Vậy cơng suất của tín hiệu là PS 2 . Cơng suất truyền tồn phần là tổng của 2 số hạng này. Ta định nghĩa hiệu suất là tỷ số của cơng suất tín hiệu cơng suất tồn phần: P η = S (4.10) 2 AP+ S TD: Giả sử ta xem dạng sĩng hình 12c, và đặt A bằng với biên độ của hình sin. Vậy hiệu suất là 33%. Trang IV.9
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn CÁC KHỐI BIẾN ĐIỆU: Hình 4.13 Sơ đồ của các khối biến điệu AM. - Hình 4.13a: Hệ thống tạo nên DSBSC AM. - Hình 4.13b,c: Hệ thống tạo nên DSBTC AM. Hình 4.13: Khối biến điệu AM Tại sao sự biến điệu thì khơng tuyến tính ? Ta đã biết, bất kỳ một hệ tuyến tính và khơng đổi theo thời gian nào điều cĩ một output mà biến đổi F của nĩ là tích của ảnh F của input với H(f). Nếu biến đổi của tín hiệu vào bằng zero trong một khoảng tần số nào đĩ, thì ảnh F của output phải cũng bằng zero trong khoảng ấy. Nghĩa là, tính chất tổng quát của hệ tuyến tính khơng đổi theo thời gian là nĩ khơng thể cho ra bất kỳ một output nào nếu khơng cĩ input ở ngỏ vào. Vậy cĩ một hệ tuyến tính khơng theo t nào cĩ thể cho sm(t) ở ngỏ ra khi nhận s(t) ở ngỏ vào ? Nĩi các khác, ta cĩ thể tìm được hay khơng một H(f) nào để cho: Sm(f) = S(f) . H(f) Hình 4.14 Rõ ràng, câu trả lời là khơng. Trang IV.10
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Sự biến điệu là một tiến trình dời tần. Và khơng cĩ một hệ tuyến tinh nào thực hiện được điều đĩ. Một hệ phi tuyến và thay đổi theo t, nĩi chung, là rất phức tạp. Tuy nhiên, trong trường hợp biến điệu, người ta cĩ thể thực hiện được bằng 2 kiểu gián tiếp: Biến điệu cổng (Gated mudolator) và biến điệu theo luật bình phương (Square - Law Mudolator ). Biến Điệu Cổng: Dựa vào sự kiện: Phép nhân s(t) với một hàm tuần hồn bất kỳ sẽ tạo ra một chuổi sĩng AM với những sĩng mang là bội số của tần số cơ bản của hàm tuần hồn. Hình_4.15 Hình 4.15: Tích của s(t) và hàm cổng tuần hồn Output của mạch nhân (hình 4.15) ⎡ ∞ ⎤ s(t)P(t) = s(t) a + a cos(2πnf t) (4.11) ⎢ 0 ∑ n c ⎥ ⎣⎢ n =1 ⎦⎥ fc Là tần số cơ bản của hàm tuần hồn. an , các hệ số chuỗi F. Giả sử P(t) là hàm chẳn ( để tránh phải viết các số hạng sin trong chuỗi ) Lọc BPF sẽ chận tất cả, chỉ trừ thành phần nào đĩ trong chuỗi mà ta sẽ chọn. Kết quả là ở ngỏ ra cĩ một sĩng AM. Mạch lọc điều hợp với tần số cơ bản, nhưng nĩ sẽ cĩ thể điều hợp với một trong những họa tần của sĩng AM, cĩ tần số sĩng mang cao hơn. Trong thực tế, ta chọn những họa tần thấp (Vì các hệ số F làm giảm biên độ tín hiệu khi n tăng). P(t) là một hàm cổng gồm một đồn xung tuần hồn. (Hình 4.16) Trang IV.11
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 4.16: Hàm cổng * Vì P(t) luơn bằng 0 hay bằng 1, mạch nhân cĩ thể xem như cĩ cơ chế hoạt động on/off ( hoặc switch ). Output của BPF tìm được bằng cách khai triển P (t) thành chuỗi F và tìm a1. 2 a = 1 π sm (t) = s(t).P(t) 2 sm(t) = s(t) cos2πfCt (4.12) π Phương trình (4.12) được viết cho hàm cổng cĩ nửa thời gian cao và nửa thời gian zero. Nhưng sĩng AM vẫn được tạo ra với bất kỳ trị giá nào của chu kỳ thao tác của xung. Bộ phận tạo hàm cổng cĩ thể là thụ động hoặc tác động hình 4.17 chỉ bộ phận biến điệu gồm 2 thành phần thụ động. Bộ phận tạo hàm cổng Hình 4.17a: Mạch tạo xung cổng thụ động dùng Switch. R 1 + 2 -+4 s(t) c2(t) - 3 cos2πfct - + Hình 4.17b: Mạch tạo xung cổng thụ động dùng diode. - Hình 4.17a, SW đĩng ngắt tuần hồn. Khi SW hỡ, tín hiệu ra bằng tín hiệu vào. Khi SW đĩng, tín hiệu ra bằng zero. R là điện trở nguồn. Bất lợi của SW cơ học là đĩng ngắt chậm. Tần số đĩng ngắt của SW phải bằng tần số sĩng mang ( hoặc ước số, nếu ta chọn 1 họa tần ). Với tần số sĩng mang cở MHz, SW cơ học khơng thể đáp ứng kịp. - Hình 4.17b: Sự đĩng ngắt thực hiện nhờ cầu diode. Khi cos2πfCt dương ( điểm B cĩ điện thế dương hơn điểm A ), cả 4 doide bị khĩa: Mạch tương tự như hình 4.17a khi SW hỡ, tín hiệu ra là s(t). Ngược lại khi cos2πfCt âm ( điểm B cĩ điện thế âm hơn điểm A ). Cả 4 diode dẫn: mạch giống như hình 4.17a khi SW đĩng. Giới hạn duy nhất cho mạch đĩng ngắt nầy là tần số đĩng ngắt của loại Diode được dùng. ( Tính khơng lý tưởng của các diode, thường là thời gian hồi phục ( recovery time ) của điện dung mối nối khá lớn so với chu kỳ sĩng mang ). Trang IV.12
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn - Hàm cổng cịn cĩ thể tạo được bằng cách dùng các linh kiện tác động, như transistor hoạt động giữa vùng khĩa và vùng bảo hịa. Một transistor khĩa, tương đương với một SW hỡ. Một transistor bảo hịa, xem như một SW đĩng. - Hình 4.18, trình bày một kiểu mạch biến điệu dọi là biến điệu vịng (ring modulator). Sĩng mang là một sĩng vuơng, được đưa vào mối giữa của 2 biến thế. Output là một phiên bản bị “ cổng hĩa “ của input, chỉ cần lọc là cĩ được sĩng AM . Biến Điệu Theo Luật Bình Phương. Loại nầy dựa vào định luật: “ Bình phương của một tổng 2 hàm cĩ chứa một số hạng là tích của 2 hàm đĩ “: 2 2 2 [s1(t)+s2(t)] = s1 (t) + s2 (t)+2 s1(t).s2(t) Nếu s1(t) là tín hiệu chứa tin và s2(t) là sĩng mang, ta cĩ: 2 2 2 [ s(t) + cos2πfCt ] = s (t) + cos 2πfCt + 2s(t) cos2πfCt (4.13) Số hạng thứ 2 chính là sĩng AM mong muốn. Ta phải tìm cách tách nĩ ra khỏi 2 thành phần kia. Ta đã biết, sự tách sẽ đơn giãn, khi chúng khơng phủ nhau ( trong phạm vi thời gian hoặc phạm vi tần số ). Rỏ ràng, chúng phủ nhau về thời gian. Vậy, ta hãy xem phạm vi tần số. Các xung lực tại gốc và 2fC kết quả của sự khai triển lượng giác 1+ cos2θ Cos2θ = 2 Đường cong liên tục ở giữa ( tần số thấp ) chỉ biến đổi F của s2(t). Ta khơng biết dạng chính xác của s(t). Nhưng chỉ biết rằng ảnh F của nĩ bị giới hạn ở những tần số nhỏ hơn fm. Biến 2 đổi F của s (t) bị giới hạn ở những tần số dưới 2fm. Một cách để thấy điều đĩ là xem biến đổi F của s2(t) là phép chồng của S(f) lên chính nĩ. Phép chồng đồ hình cho thấy biến đổi nầy đi từ zero đến 2fm. Cách khác, là xem s(t) như là tổng của các hình sin cĩ tần số (riêng) dưới fm. Khi bình phương tổng nầy, ta cĩ kết quả là tất cả các tích của các số hạng. Điều nầy sẽ đưa đến tổng và hiệu của các tần số khác nhau ( dùng lượng giác). Khơng cĩ tổng hay hiệu nào vượt quá 2fm nên tần số gốc khơng vượt quá fm. Trang IV.13
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 4.18: Biến điệu vịng Trang IV.14
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Hình 4.19: Biến đổi F của (4.13) Hình 4.19 cho thấy khi fC >> 3fm thì các số hạng khơng phủ nhau ( về tần số ). Vậy cĩ thể tách chúng bằng một lọc BPF để cĩ sĩng AM. Trong hầu hết các trường hợp thực tế, fC>>fm, nên điều kiện nầy dễ thỏa. SQR Hình 4.20: Mạch biến điệu bình phương. Hình 4.20 chỉ tồn thể một khối biến điệu theo luật bình phương. Các bộ phận tổng cĩ thể là tác động, thụ động hay op.amp. - Bộ phận bình phương thì khơng đơn giãn. Bất kỳ một linh kiện phi tuyến nào cũng đều cho một tín hiệu ra tương ứng với một tín hiệu vào bởi một hệ thức mà ta cĩ thể khai triển thành chuỗi lủy thừa. Giả sữ khơng cĩ sự tích trữ năng lượng, nghĩa là output tại bất kỳ thời điểm nào chỉ phụ thuộc vào input tại cùng thời điểm đĩ, chứ khơng kể đến những trị giá trước đĩ. Với y(t) là output và x(t) là input: 2 3 y(t) = a0 + a1x(t) + a2x (t) + a3x (t) + (4.14) 2 Số hạng mà ta lưu ý là a2x (t). Và ta tìm cách ta tìm cách tách nĩ khỏi các thành phần khác. Linh kiện phi tuyến được chọn dùng phải cơ bản là một linh kiện cĩ đặc tính bình phương. Thí dụ diode an trong phương trình (4.14) phải cĩ tính chất: an 2 Cĩ vài điều cần nĩi thêm về sự phi tuyến. Nếu các số hạng ứng với n = 1 và n = 2 trong chuỗi chiếm ưu thế (biên độ lớn) thì kết quả là sĩng TCAM. Hơn nữa, Nếu an nhỏ quá ( với n > 2 ), sĩng AM vẫn cĩ nếu làm cho s(t) thật nhỏ. Vậy sn(t) 1, và TCAM vẫn cịn chiếm ưu thế. Đây là một trường hợp khơng mong muốn, vì biên độ của sĩng quá nhỏ. * Các diode bán dẫn cĩ đặc tuyến rất giống với luật bình phương ( trong vùng hoạt động của nĩ ). Sơ đồ khối của một mạch biến điệu cân bằng (balance modulator) vẽ ở hình 4.21. Hệ nầy cộng sĩng mang cos2πfCt với tín hiệu chứa tin s(t), sau đĩ đưa chúng vào linh kiện phi tuyến ( bình phương ). Sự vận hành cũng được lặp lại với -s(t) . Mạch tổng sẽ lấy hiệu sơ của 2 tín hiệu ra, làm loại bỏ số hạng của lủy thừa lẻ trong khai triển (4.14). Ví dụ, xem số hạng lủy thừa 3. Trang IV.15
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 3 2 Khi khai triển [s(t)+cos2πfCt] , Số hạng phủ lên băng tần của sĩng AM là s (t)cos2πfCt. Số hạng nầy khơng đổi dấu khi -s(t) được thay vào s(t). Như vậy tại mạch tổng (thực ra là trừ ) chúng sẽ triệt nhau. Số hạng mà ta muốn lấy, s(t).cos2πfCt , sẽ đổi dấu khi -s(t) được thay cho s(t). Vậy mạch sẽ làm tăng đơi biên độ tín hiệu. Ta cũng nhớ rằng, khi số hạng bậc một bị triệt, nên tín hiệu ra của khối biến điệu cân bằng là SC AM. ( Biến điệu AM sĩng mang bị nén ). Mạch điện thực tế của biến điệu bình phương vẽ ở hình 4.22. Đây là mạch transistor kiểu E chung. Mạch dùng sự phi tuyến của transistor để tạo nên tích của tín hệu với sĩng mang. Mạch được điều hợp ở chân C, lọc bỏ những họa tần khơng mong muốn. SQR SQR SQR SQR Hình 4.21: Khối biến điệu AM cân bằng s(t) Hình 4.22: Mạch biến điệu bình phương Các mạch biến điệu bình phương thực tế dễ thiết kế đến độ ngạc nhiên! Thực vậy, Chúng thường hiện hữu ngồi ý muốn. Các sản phẩm của sự biến điệu xuất hiện trong mạch điện một khi các linh kiện điện tử bị đưa vào vùng hoạt động phi tuyến. Vì vậy, người ta thường cố ngăn ngừa một mạch hoạt động như một mạch biến điệu khơng mong muốn. Hình 4.23 là mạch của một máy phát AM biến điệu ở chân C. Chỉ cần thay đổi điện thế tức thời đặt vào chân B của Transistor do sự biến đổi biên độ của tín hiệu trong tin s(t). Sĩng xuất hiện tại đỉnh của mạch điều hợp ở chân C là tổng của VCC và tín hiệu s(t). Như vậy, cơ bản ta đã làm thay đổi điện thế tức thời do biên độ của s(t) thay đổi. Trang IV.16
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Ngõ ra của mạch lạ một lọc BPF, nhằm giảm thiểu các họa tần sinh ra do sự họat động phi tuyến của transistor. Hình 4.23: Mạch phát AM biến điệu ở chân C CÁC KHỐI HỒN ĐIỆU ( Demodulators) Ta đã nĩi từ trước rằng s(t) sẽ được hồi phục từ sm(t), bằng cách hồn điệu cho sm(t) và sau đĩ cho tín hiệu qua một lọc LPF. ( loai sĩng mang ). Hình 4.24 là sơ đồ khối của một mạch hồn điện đồng bộ (Synchronous Demodulator) hay hồn điệu kết hợp. Gọi như vậy vì mạch dao động tạo sC(t) được đồng bộ hĩa về cả tần số và pha với sĩng mang được thu. Trang IV.17
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn S(f) 1 f -fm fm G(f) 1/2 1/4 1/4 f -fm fm -2fc 2fc Hình 4.24: Hồn điệu AM Vì mạch nhân của hình vẽ nhìn khơng khác với mạch nhân dùng trong mạch biến điệu, ta cĩ thể tiên đốn những cải biến của mạch biến điệu cổng và bình phương cĩ thể áp dụng được ở đây. Cĩ hai loại hồn điệu đồng bộ Hồn Điệu Cổng: Trước hết, hãy khảo sát sự dùng mạch biến điệu cổng để hồn điệu một sĩng DSBSCAM: Hình 4.25: Hồn điệu cổng P(t) là một hàm cổng gồm một chuỗi xung tuần hồn biên độ đơn vị. ∞ P(t) = a0 + ∑ an cos2πnfCt n=1 Trang IV.18
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn Vậy tín hiệu vào của LPF là: ⎡ ∞ ⎤ sm(t) P(t) = s(t) cos2πfCt ⎢a0 + ∑ an cos2πnfCt⎥ ⎣ n=1 ⎦ s(t) ∞ = a0 s(t) cos2πfCt + ∑ an []cos(n −1)2πfCt + cos(n +1)2πfCt (4.15) 2 n=1 Quan tâm đến thành phần bậc 1: 2 ⇒ sm(t).P(t) = a0.s(t).cos2πfct + a1.s(t).cos 2πfct a s(t) a s(t)cos 4πf t = a0.s(t).cos2πf t + 1 + 1 c c 2 2 Vậy output của LPF cho bởi: 1 so(t) = a1s(t) 2 Và sự hồn điệu được hồn tất. Ta đã nĩi về hoạt động của hồn điệu cổng cho một sĩng AM SC. Bây giờ, nếu ta thay A + s(t) cho s(t) trong phương trình (4.15) ( trường hợp TCAM). Ta sẽ thấy rằng hồn điệu cổng sẽ tạo ra một tín hiệu ra. 1 so(t) = a1[A + s(t)] 2 Biểu thức trình bày tín hiệu chứa tin gốc bị dời bởi một hằng. Nếu hệ chứa linh kiện liên lạc ac, hằng sẽ khơng suất hiện ở output. Nếu tất cả mạch khuếch đại trong hệ liên lạc dc, ta cĩ thể loại bằng cách dùng một tụ nối tiếp tương đối lớn, để nĩ nạp đến trị trung bình của tín hiệu. Ta giả sử trị trung bình của tin s(t) là zero. Nếu nĩ khơng đúng, sự loại bỏ hằng cũng sẽ loại vài tín hiệu khác. May mắn, hầu hết s(t) đều cĩ trị dc là zero. Hồn Điệu Bình Phương: Ta khảo sát hiệu quả của việc cộng sĩng AM vào một sĩng mang thuần túy, rồi sau đĩ bình phương tổng: 2 [sm(t) + A cos2πfCt ] (4.16) Trước hết, hãy xem trường hợp sĩng mang bị nén SCAM. Phương trình (4.16) trở nên: sm(t) = s(t). Cos2πfCt 2 2 2 {cos2πfCt[s(t)+ A]}= cos 2πfCt + [s(t) + A] [s(t) + A]2 +[s(t) + A]2 Cos4πf t = C (4.17) 2 - Số hạng thứ nhì là một sĩng AM xung quanh một sĩng mang tần số 2fC. Vậy cĩ thể tách nĩ ra dể dàng bằng một lọc LPF. Trang IV.19
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn - Số hạng thứ nhất cĩ thể khai triễn: s2(t) + A2 + 2A s(t). Nhưng tần số chứa s2(t) phủ với s(t), và chúng khơng thể tách ra. Tuy nhiên, giả sử rằng ta 2 ⎡s(t) + A ⎤ đã dùng một lọc LPF để tách tất cả số hạng ra khỏi thành phần cĩ tần số 2fc . ⎣⎢ 2 ⎦⎥ Nhớ là lọc nầy phải cho qua những tần số lớn đến 2fm. Vậy ta đã hồi phục bình phương của tổng của A và s(t). Ta sẽ lấy căn bậc 2 của nĩ để cĩ: 1 0,707s(t) + A = s(t) + A . 2 A* Sự lấy suất của một tín hiệu sẽ đưa đến một dạng méo. Thí dụ, tín hiệu là một hình sin thuần, suất của nĩ cĩ dạng sĩng sin chỉnh lưu 2 bán kỳ với tần số cơ bản gấp đơi tần số gốc. Tín hiệu chỉnh lưu khơng chỉ chứa một tần số đơn, mà bao gồm nhiều họa tần. [ nếu ta nghe nĩ ở loa, sĩng sin gốc sẽ cho một tơng thuần, trong lúc sĩng sin chỉnh lưu 2 bán kỳ sẽ cho một tơng sè - Thành phần họa tần - cao hơn một bát độ ]. Nếu tín hiệu gốc là một hổn hợp nhiều tần số, sự méo sẽ nghiêm trọng hơn. B* Nhưng giả sử A đủ lớn sao cho s(t) + A khơng bao giờ cĩ trị âm, thì s(t) + A sẽ bằng s(t) + A. Khi đĩ, ta đã hồn điệu được. Nghĩa là sĩng mang được thêm vào ở máy thu để hồn điệu phải cĩ biên độ lớn hơn hay bằng trị âm tối đa của s(t). Bây giờ ta xem việc hồn điệu sĩng TCAM. Trong việc hồn điệu, cần thiết phải tạo lại một bản sao hồn chỉnh của sĩng mang. Điều nầy khĩ thực hiện, trừ khi sĩng AM chứa một số hạng tuần hồn cĩ tần số bằng tần số sĩng mang. Điều nầy tự nhiên đưa ta đến việc phải dùng TCAM. Thực vậy, phương trình (4.16) là kết quả từ việc bình phương sĩng TCAM thu được mà khơng cần cộng thêm một sĩng mang địa phương (nội local) (tại máy thu ). s(t) Hình 4.26: Khối hồn điệu bình phương cho TCAM. Hình 4.26 là khối hồn điệu cho TCAM. Biên độ sĩng mang A đủ lớn để làm cho A + s(t) khơng âm. C* Đối với sĩng SCAM, cần phải thêm mạch tạo (bản sao của) sĩng mang tại máy thu. Bản sao nầy cần được đồng bộ hĩa với sĩng mang thu được ( phù hợp về tần số và pha). Thường máy thu cĩ một mạch dao động nội để thực hiện việc này. Ta hãy xem hậu quả của sự khơng phù hợp về tần số và pha. Giả sử mạch dao động nội hình 4.24 bị lệch tần bởi ∆f và lệch pha bởi ∆θ. Khi đĩ, output của mạch nhân là: Trang IV.20