Bài giảng Cơ sở tự động học - Chương IV: Trạng thái của hệ thống - Phạm Văn Tấn

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở tự động học - Chương IV: Trạng thái của hệ thống - Phạm Văn Tấn

1. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn Chương IV: TRẠNG THÁI CỦA HỆ THỐNG • ĐẠI CƯƠNG. • PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG TRÌNH OUTPUT. • SỰ BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI. • VÀI VÍ DỤ. • ĐỒ HÌNH TRẠNG THÁI. Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.1
2. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn I. ĐẠI CƯƠNG. Trong các chương trước, ta đã khảo sát vài phương pháp thơng dụng để phân giải các hệ tự kiểm. Phép biến đổi Laplace đã được dùng để chuyển các phương trình vi phân mơ tả hệ thống thành các phương trình đại số theo biến phức S. Dùng phương trình đại số này ta cĩ thể tìm được hàm chuyển mơ tả tương quan nhân quả giữa ngõ vào và ngõ ra. Tuy nhiên, việc phân giải hệ thống trong miền tần số, với biến phức, dù là kỹ thuật rất thơng dụng trong tự động học, nhưng cĩ rất nhiều giới hạn. Sự bất lợi lớn nhất, đĩ là các điều kiện đầu bị bỏ qua. Hơn nữa, phương pháp ấy chỉ được áp dụng cho các hệ tuyến tính, khơng đổi theo thời gian. Và nĩ đặc biệt bị giới hạn khi dùng để phân giải các hệ đa biến. Ngày nay, với sự phát triển của máy tính, các điều khiển thường được phân giải trong miền thời gian. Và vì vậy, cần thiết phải cĩ một phương pháp khác để đặc trưng hĩa cho hệ thống. Phương pháp mới, là sự dùng”biến số trạng thái” (state variable) để đặc trưng cho hệ thống. Một hệ thống cĩ thể được phân giải và thiết kế dựa vào một tập hợp các phương trình vi phân cấp một sẽ tiện lợi hơn so với một phương trình độc nhất cấp cao. Vấn đề sẽ được đơn giản hĩa rất nhiều và thật tiện lợi nếu dùng máy tính để giải. Giả sử một tập hợp các biến x1(t), x2(t) xn(t) được chọn để mơ tả trạng thái động của hệ thống tại bất kỳ thời điểm cho sẳn t=t0 nào, các biến này mơ tả hồn tồn trạng thái quá khứ ( past history ) của hệ cho đến thời điểm t0. Nghĩa là các biến x1(t0), x2(t0) . . . xn(t0), xác định trạng thái đầu của hệ tại t=t0. Vậy khi cĩ những tín hiệu vào tại t >= t0 được chỉ rõ, thì trạng thái tương lai của hệ thống sẽ hồn tồn được xác định . Vậy, một cách vật lý, biến trạng thái của một hệ tuyến tính cĩ thể được định nghĩa như là một tập hợp nhỏ nhất các biến x1(t),x2(t), xn(t), sao cho sự hiểu biết các biến này tại thời điểm t0 bất kỳ nào cộng thêm dữ kiện về sự kích thích (excitation) ở ngõ vào được áp dụng theo sau, thì đủ để xác định trạng thái của hệ tại bất kỳ thời điểm t >=t0 nào. r (t) 1 c1(t) x1(t), x2(t), r2(t) c2(t) xn(t) r (t) M M cq(t) p Hình 4_1 x1(t),x2(t) . . . xn(t)là các biến trạng thái . r1(t),r2(t) . . . rp(t) là các tín hiệu vào. c1(t),c2(t) . . . cq(t) là các tín hiệu ra. Cái ngắt điện, cĩ lẽ là một thí dụ đơn giản nhất về biến trạng thái. Ngắt điện cĩ thể ở vị trí hoặc ON hoặc OFF, vậy trạng thái của nĩ cĩ thể là một trong hai trị giá khả hữu đĩ. Nên, nếu ta biết trạng thái hiện tại (vị trí) của ngắt điện tại t0 và nếu cĩ một tín hiệu đặt ở ngõ vào, ta sẽ cĩ thể xác định được trị giá tương lai trạng thái của nĩ. Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.2
3. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn II. PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG TRÌNH OUTPUT. Xem lại sơ đồ khối hình H.4_1, diễn tả một hệ thống tuyến tính với p input và q output. Ta giả sử hệ thống được đặt trưng bởi tập hợp sau đây của n phương trình vi phân cấp 1, gọi là những phương trình trạng thái. d xi () t = [x (t), x (t), ,x n (t), r (t), r (t), ,r p (t)] (4.1) dt fi 1 2 1 2 (i=1,2, ,n) Trong đĩ : x )t( , x )t( , , x )t( là các biến trạng thái 1 2 n r )t( ., r )t( , , r )t( là các input 1 2 p fi : hàm tuyến tính thứ i. Các output của hệ thống liên hệ với các biến trạng thái và các input qua biểu thức sau. Ck() t= g k [ x1 (t),x 2 (t), ,x n (t), r1 (t),r2 (t), ,r p (t)] (4.2) (k =1,2, ,q) g k : hàm tuyến tính thứ k . Phương trình (4.2) gọi là phương trình output của hệ. Phương trình trạng thái và phương trình output gọi chung là các phương trình động của hệ. Thí dụ, xem một hệ tuyến tính với một input và một output được mơ tả bởi phương trình vi phân : d3 c(t) d2 c(t) dc(t) +2 +3 +C(t) = 2 r (t) (4.3) dt 3 dt 2 dt C() t : output ; r()t : input. • Hàm chuyển mơ tả hệ thống dễ dàng cĩ được bằng cách lấy biến đổi Laplace ở hai vế, với giả sử các điều kiện đầu bằng 0. CS( ) 2 = RS() S3+ 2S 2 + 3S + 1 (4.4) • Ta sẽ chứng tõ rằng hệ thống cịn cĩ thể mơ tả bởi một tập hợp các phương trình động như sau : Trước nhất, ta định nghĩa các biến trạng thái x1 () t= C () t (4.5) phương trình output x() t= x () t = C& () t (4.6) 2 & 1 Phương trình trạng thái x3 ()t= x& 2 () t = C& () t (4.7 ) Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.3
4. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn dx dx Trong đĩ x& = 1 và x& = 2 . 1 dt 2 dt dc C& = dt Phương trình 4.3 được sắp xếp lại sau cho đạo hàm bậc cao nhất ở vế trái: &&&C() t= − 2&&c () t − 3 c& () t − c( t) + 2r( t) (4.8) Bây giờ phương trình 4.6 và 4.7, thay thế các hệ thức định nghĩa của biến trạng thái vào 4.8 . Ta sẽ cĩ những phương trình trạng thái: x() t= x () t (4.9a) & 1 2 x() t= x () t (4.9b) & 2 3 xt()= − xt () − 3xt( )− 2xt( )+ 2r(t) (4.9c) & 3 1 2 3 Chỉ cĩ phương trình (4.9c) là tương đương phương trình ban đầu (4.3). cịn hai phương trình kia chỉ là phương trình định nghĩa biến trạng thái. Trong trường hợp này, output c(t) cũng được định nghĩa như là biến trạng thái x1(t), (khơng phải luơn luơn như vậy). Vậy phương trình (4.5) là phương trình output. Tổng quát hơn, nếu áp dụng phương phương pháp mơ tả ở trên, thì phương trình vi phân cấp n: dnc()t dn− 1c() t dc(t) + a + + a +anc() t = r () t (4.10) dt n 1 dt n− 1 n− 1 dt Sẽ được trình bày bởi các phương trình trạng thái sau : x() t= x () t & 1 2 x() t= x () t & 2 3 MM ( 4.11) x() t= x () t & n− 1 n x() t= − a xta () − xt ()− − ax() taxtrt− () + () & n n 1 n− 1 2 L 2 n− 1 1 1 Và phương trình output giản dị là : C() t = x( t) (4.12) 1 Phương pháp định nghĩa các biến trạng thái được mơ tả ở trên khơng thích hợp khi vế phải của (4.10) cĩ chứa những đạo hàm của r(t). Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.4
5. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn dn c() t dn− 1 c() t dct() dn r( t) dn− 1 r( t) n +a1 n− 1 +L +an− 1 +an c() t = b0 n +b1 n− 1 +L dt dt dt dt dt drt() + b +b r() t (4.13) L n− 1 dt n Trong trường hợp này, những hệ thức của các biến trạng thái cũng phải chứa r(t). Các biến trạng thái được định nghĩa như sau: x1 ()t= c () t − b0r () t x2 ()t= x& () t − h1 r () t 1 (4.14) MM x()t= x () t − h r () t (k= 2,3, ,n) k & k− 1 k L Với các giá trị ở đĩ : h 1=b 1 − a 1b 0 h2=() b 2 − a 2 b 0 − a 1 h 1 () 4.15 h3=() b 3 − a 3 b 0 − a 2 h 1 − a 1 h 2 M M hk=() babahah k − k 0 − k− 1 1 − k− 2 2 −L − ah2 k− 1 − ah 1 k Dùng (14) và (15) ta đưa phương trình vi phân cấp n(4.13) vào n phương trình trạng thái sau đây dưới dạng bình thường : x() t= x () t+ h r () t &1 2 1 x() t= x () t + h r () t &2 3 2 MM () 4.16 x() t= x () t + h r () t &n − 1 n n − 1 xt()= − axta () − xt () − − ax() taxthrt − () + () &n n 1 n − 1 2 L 2n − 1 1 n n Phương trình output, cĩ được từ biểu thức thứ nhất của(4.14): C() t = x() t + b r(t) (4.17) 1 0 Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.5
6. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn III. SỰ BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI . Những phương trình trạng thái của một hệ thống động cĩ thể được viết dưới dạng ma trận, để sử dụng ma trận để trình bày trong các hệ phức tạp làm cho các phương trình cĩ dạng cơ đơng hơn. Phương trình (4.1) viết dưới dạng ma trận thì đơn giản sau: X& ()t= f[] X () t , R () t= AX() t + BR( t) ( 4.18) Trong đĩ X(t) là ma trận cột biểu diễn các biến số trạng thái gọi là các véctơ trạng thái. R(t) là ma trận cột, biểu diễn input gọi là các véctơ input. ⎡x1 ()t ⎤ ⎡r1 (t)⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x ()t r ()t X()t = ⎢ 2 ⎥ và R()t = ⎢ 2 ⎥ (4.19) ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ t ⎣x n ()t ⎦ ⎣⎢rp ()⎦⎥ A là ma trận vuơng n x n : ⎡a11 a1n L a 1n ⎤ ⎢ ⎥ a a a A = ⎢ 21 22L 2 n ⎥ ⎢ ⎥ (4.20) ⎢LLLLLLLL ⎥ ⎣⎢an1 a n 2L a nn ⎦⎥ B là ma trận n x p (vì cĩ p input r ) ⎡b11 b 12 LL b 1p ⎤ ⎢ ⎥ ⎢b21 b 22 LL b 2 p ⎥ B = ⎢ ⎥ (4.21) ⎢LLLLLLL ⎥ ⎣⎢bn1 b n 2 LL b np ⎦⎥ Tương tự như vậy, q phương trình trong (4.2) cũng cĩ thê được trình bày bằng một ma trận duy nhất C()t=g[] X () t + R () t= DX( t) + ER( t) (4.22) Trong đĩ D là ma trận q x n và E là ma trận q x p. Thí dụ, các phương trình trạng thái của phương trình (4.11) được viết dưới dạng ma trận: Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.6
7. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn nx1 n x n n x 1 n x 1 ⎡ ⎤ x& ()t 0 1 0 0 0 0 ⎡0⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎡ LL ⎤ ⎡x1 ()t ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢x ()t ⎥ 0 0 1 0 0 0 ⎢ t ⎥ 0 & 2 ⎢ LL ⎥ ⎢x1 ()⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 1 0LL 0 ⎥ ⎢ M ⎥ M (4.23) M = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥r() t ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢LLLLLLLLL ⎥ ⎢ M ⎥ M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 0LL 1 ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ −a − a − a ⎢ ⎥ ⎢x ()t ⎥ ⎣⎢ n n−1 LLLLLL 1 ⎦⎥ ⎣⎢x n ()t ⎦⎥ 1 ⎣ & n ⎦ ⎣ ⎦ Khi so sánh phương trình (4.23) với phương trình (4.18), các ma trận A và B sẽ được đồng nhất dễ dàng. Trường hợp này, phương trình output (4.22) là một phương trình vơ hướng. D = [1 0 0L 0] (4.24) Và E = 0 (ma trận khơng ( 4.25 ) Tương tự các ma trận A, B,C,D đối với phương trình (4.13) sẽ là ⎡0 1 0 0 0LL 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 0 0LL 0 ⎥ ⎢0 0 0 1 0LL 0 ⎥ A = ⎢ ⎥ (4.26) ⎢LLLLLLLLL ⎥ ⎢0 0 0 0 0LL 1 ⎥ ⎢ ⎥ −a − a − a ⎣⎢ n n−1 LLLLLL 1⎦⎥ ⎡h 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢h 2 ⎥ B = ⎢ ⎥ (4.27) ⎢ M ⎥ ⎣⎢h n ⎦⎥ D = [1 0 0L 0] (4.28 ) E = [b 0 ] (4.29) IV. VÀI THÍ DỤ. Thí dụ 4.1: Xem một hệ thống tuyến tính, cĩ hàm chuyển cho bởi: CS() 5 GS()= = (4.30) RS() S3+ 8S 2 + 9S + 2 Phương trình vi phân tương ứng diển tả hệ thống là: Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.7
8. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn d3c d 2c dc +8 +9 +2c = 5r (4.31) dt 3 dt 2 dt Các biến số trạng thái được định nghĩa: x1 ()t= c () t x& 1 ()t= x 2 () t (4.32) x& 2 ()t= x 3 () t x& 3 ()t =− 2x1 − 9x2 − 8x3 + 5r Do đĩ hệ thống cĩ thể được diễn tả bằng ma trận: XX& =A + BR (4.33) và C = DX + ER (4.34) Với ⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡0 0 0⎤ A = ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ; B = ⎢0 0 0⎥ ⎣⎢−2 − 9 − 8⎦⎥ ⎣⎢0 0 5⎦⎥ ⎡0 ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡x& 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ R = ⎢0 ⎥ X = x X& = x ⎢ ⎥ ; ⎢ 2 ⎥ ; ⎢ & 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣r ⎦ ⎣x 3 ⎦ ⎣x& 3 ⎦ D = [1 0 0] ; E = 0 Thí dụ 4.2: Xem một hệ thống điều khiển như H.4.2. Hàm chuyển vịng kín của hệ là: + R(S) 2 C(S) - SS()+1 CS() 2 Hình 4.2 = (4.35) RS() S2 + S + 2 Phương trình vi phân tương ứng d2c dc + +2c = 2r (4.36) dt2 dt Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.8
9. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn Các biến trạng thái: x1 = c x= x (4.37) &1 2 x= −2 x− x + 2r & 2 1 2 Vậy hệ thống cĩ thể diển tả bằng hệ thống véctơ: X& = AX+ Br (4.38) C = DX+Er Trong đĩ : 0 ⎡x ⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎡ ⎤ 1 ⎡x& 1 ⎤ A = ; B = ⎢ ⎥ ; X = ⎢ ⎥ ; X& = ⎢ ⎥ ; ⎢−2 − 1⎥ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣x 2 ⎦ ⎣x& 2 ⎦ D=[1 0] Thí dụ 4.3 : Xem một mạch RLC như H. 4.3 il L nguon dong r(t) C R v0 ic vc Trạng thái của hệ cĩ thể mơ tả bởi tập hợp các biến trạng thái x1 = vc(t) ( 4.39) x2 = iL(t) ( 4.40) Đối với mạch RLC thụ động, số các biến số trạng thái cần thiết thì bằng với số các bộ phận tích trữ năng lượng độc lập. Các định luật Kirchhoff cho: dv c i =c =r ( t ) − i (4.41) c dt L di L L = −Ri + v (4.42) dt L C Output của hệ : v0 = RiL (4.43) Viết lại(4.41) và (4.42) như là tập hợp các phương trình vi phân cấp 1: • dv c 1 1 x = = −x + r(t) (4.44) 1 dt C 2 C • 1 R x =x − x (4.45) 2 L 1 L 2 Tín hiệu ra c(t) = v0 = Rx2 (4.46) Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.9
10. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn Dùng các phương trình (4.44), (4.45), (4.46) và các điều kiện đầu của mạch x1(t0), x2(t0) ta cĩ thể xác định trạng thái tương lai của mạch và tín hiệu ra của nĩ. Dưới dạng véctơ, trạng thái của hệ được trình bày: • X =AX + Br C= DX + Er Trong đĩ: 1 0 − ⎡ 1 ⎤ C A = ; B = ⎢C⎥ ; D = [0 R] 1 R ⎢ ⎥ − ⎣ 0 ⎦ L L . ⎡x ⎤ . ⎡ ⎤ X = 1 X = ⎢x1 ⎥ ⎢x ⎥ ; . ; E=0 ⎣ 2 ⎦ ⎣⎢x 2 ⎦⎥ Lưu ý là các biến trạng thái của hệ thống khơng phải là duy nhất. Tùy theo cách chọn lựa, cĩ thể cĩ những tập hợp khác của các biến trạng thái. V. ĐỒ HÌNH TRẠNG THÁI . Đồ hình truyền tín hiệu mà ta đã nĩi ở chương 3 chỉ áp dụng cho các phương trình đại số. Ở đây, ta sẽ đưa vào các phương pháp đồ hình trạng thái, như là một sự mở rộng cho đồ hình truyền tín hiệu để mơ tả các phương trình trạng thái ,và các phương trình vi phân. Ý nghĩa quan trọng của đồ hình trạng thái là nĩ tạo được một sự liên hệ kín giữa phương trình trạng thái, sự mơ phỏng trên máy tính và hàm chuyển. Một đồ hình trạng thái được xây dựng theo tất cả các qui tắc của đồ hình truyền tín hiệu. Nhưng đồ hình trạng thái cĩ thể được dùng để giải các hệ tuyến tính hoặc bằng giải tích hoặc bằng máy tính. Trở lại mạch RLC ở ví dụ 4.3. Để diễn tả đồng lúc 3 phương trình (4.44) (4.45), (4.46), ta cĩ thể dùng giãn đồ hình trạng thái như hình H.4_4 sau đây : -R/L 1/C 1/S 1/L 1/S R . . r x x1 x x2 v0 1 2 -1/C H.4_4 Ở đĩ, 1/s chỉ một sự lấy tích phân. Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.10
11. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn Dùng cơng thức Mason về độ lợi tổng quát, ta cĩ hàm chuyển: 2 V0 (S) R / LCS R / LC = = (4.48) R(S) 1+ (R / LS) + (1/ LCS2 ) S 2 + (R / L)S + 1/ LC Nhưng rủi thay, hầu hết các mạch điện, các hệ thống điện cơ hay những hệ điều khiển đều khơng đơn giản như mạch RLC trên đây, và thường khĩ xác định một tập hợp các phương trình vi phân cấp 1 diển tả hệ thống.Vì vậy, để đơn giản hơn ,ta thường chuyển hĩa kiểu mẩu trạng thái từ hàm chuyển. Một cách tổng quát một hệ được mơ tả bằng hàm chuyển như sau: m m− 1 C(S) S+ bm− 1 S + + b1 S + b 0 G(S) = = n n− 1 (4.49) R(S) S+ an− 1 S + + a1 S + a 0 Ở đĩ n>=m và mọi hệ số a đều thực dương. Nếu nhân tử và mẫu cho S-n ta được: −(n − m) −(n − m + 1) −(n − 1) −n S+ bm− 1 S+ + b1 S + b0 S G(S) = −1 −(n − 1) −n (4.50) 1+ an− 1 S + + a1 S + a0 S Cơng thức Mason quen thuộc giúp ta thừa nhận dễ dàng rằng tử số là tổng độ lợi trực tiếp, và mẫu số là tổng độ lợi vịng hồi tiếp. Ta viết lại cơng thức Mason. ∑ p iΔ i C(S) i T = = (4.51) R(S) Δ Nếu tất cả các vịng hồi tiếp đều chạm nhau và tất cả các đường trực tiếp đều chạm vịng hồi tiếp thì (4.51) thu lại ∑Pi i Tổng độ lợi các đường trực tiếp T = = (4.52) 1− ∑ Pj1 1− Tổng độ lợi các vòng hồi tiếp j Thí dụ 4.4 : • Trước hết xem hàm chuyển của hệ thống cấp 4: C(s) b G(s) = = 0 4 3 2 (4.53) R(s) s+ a3 s + a2 s + a1 s + a 0 −4 C(s) b0 s G(s) = = −1 −2 −3 4 R(s) 1+ a3 s + a2 s + a1 s + a0 s Vì hệ thống cấp 4, ta sẽ định nghĩa 4 biến trạng thái (x1,x2,x3,x4). Gợi ý từ cơng thức Mason, ta cĩ thể tháy rằng mẫu số của (4.53) cĩ thể được xem như là 1 cộng với độ lợi vịng, và tử số của hàm chuyển thì bằng với đơ lợi đường trực tiếp của đồ hình. Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.11
12. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn Đồ hình trạng thái phải dùng số lần lấy tích phân bằng với cấp số của hệ thống. Vậy cần lấy tích phân 4 lần. 1/S 1/S 1/S 1/S • • • • • • • • • • • • • • R(s) X4 X4 X3 X3 X2 X2 X1 X1 C(s) 3 H.4-5 Ghép các nút lại. Nhớ rằng x• = x , x• x• Ta cĩ đồ hình trạng thái của (4.53) 1 2 2 = x3 , 3 = x4 x x x 4 3 2 R(s) 1 1/S 1/S 1/S 1/S • • • • x1 b0 X X3 X X C(s) 4 2 1 - a3 - a2 - a1 - a0 H.4_6 Thí dụ 4.5 : • Bây giờ ta xem hàm chuyển cấp 4 khi tử số là một đa thức theo S: 3 2 1 b3 s+ b2 s + b1 s + b0 G() s = 4 3 2 (4.54) s+ a3 s + a2 s + a1 s + a 0 −1 −2 −3 −4 b3 s+ b2 s + b1 s + b0 s G() s = −1 −2 −3 4 (4.55) 1+a3 s + a2 s + a1 s + a0 s Tử số của G(s) là tổng độ lợi các đường trực tiếp trong cơng thức Mason. Đồ hình trạng 2 3 4 thái (ĐHTT) vẽ ở hình H.4_7. Trong đĩ độ lợi các đường trực tiếp là b3/s; b2/s ; b1/s và b0/s . Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.12
13. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn b 3 C(s) b2 b1 x4 x3 x2 R(s) 1 • 1/S • 1/S • 1/S • 1/S x 1 b X4 X3 X2 X1 0 - a3 - a 2 - a 1 - a 0 H.4_7 Từ ĐHTT, ta suy ra một tập hợp phương trình vi phân cấp 1, diễn tả trạng thái của hệ: x• = x 1 2 (4.56) x• = x 2 3 x• = x 3 4 x• = - a x - a x - a x - a x + r 4 0 1 1 2 2 3 3 4 Ngồi ra, phương trình output là C(t) = b0 x1 + b1 x2 + b2 x3 + b3 x4 (4.57) Từ đo, dưới dạng ma trận, ta cĩ: • X = ABX + r ⎡x 1 ⎤ ⎡ 0 1 0 0 ⎤⎡x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ d x 2 0 0 1 0 x 0 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ + ⎢ ⎥r() t (4.58) dt ⎢x 3 ⎥ ⎢ 0 0 0 1 ⎥⎢x 3 ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣−a0 − a1 − a2 − a3 ⎦⎣x 4 ⎦ ⎣1⎦ và output là: C(t) = DX+ Er (4.59) Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.13
14. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn ⎡ x 1 ⎤ ⎢ x ⎥ ⎢ 2 ⎥ C ( t )= [ b0 b 1 b 2 b 3 ] (4.60) ⎢ x 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x 4 ⎦ • Lưu ý: Để diễn tả phương trình (4.54), ĐHTT vẽ ở hìmh H.4_7 khơng phải là duy nhất. Ta hãy xem hình H.4_8. b2 b3 b1 • • • • ` b0 X 4 1/S X 3 1/S X 2 1/S X 1 1/S x 11 R(s) C(s) - a 3 - a 2 - a 1 - a 0 H.4_8a 1/S 1 • • • • x 2 X 2 x 1 H.4_8b Từ ĐHTT ở hình H.4_8a, ta cĩ một tập hợp phương trình trạng thái : C ( t )= x1 () t x• (t) = - a x + x + b r 1 3 1 2 3 • (4.61) x2 (t) = - a2 x 1 + x 3 + b2 r x• (t) = - a x + x + b r 3 1 1 4 1 • x4 (t) = - a0 x1 + b0 r • • Để viết phương trình (4.61a), ta hãy tham khảo hình H.4_8b. Giữa hai nút x 1 và x 2 , ta thêm một nút mới x2. Các phương trình khác cũng làm tương tự. Đồ hình H.4_8a trình bày cùng một hàm chuyển như đồ hình H.4_7. Nhưng các biến trạng thái của mỗi đồ hình thì khơng giống nhau. Thí dụ 4.6 : • Ta hãy xem một hệ thống điều khiển như hình H.4_9 cĩ thể dùng ĐHTT để xác định trạng thái của hệ. + 2(s+ 1)(s+ 3) R(s) G(s) = C(s) Chương IV: Trạng -t hái của hệ thốngs(s + 2)(s + 4) Trang IV.14
15. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn H.4_9 Hàm chuyền vịng kín của hệ : C(s) 2s2 + 8s + 6 = (4.64) R(s) s3+ 8s 2 + 16s + 6 Nhân tử và mẩu với s-3 : C 2s−1+ 8s − 2 + 6s− 3 = (4.47) R 1+ 8s−1 + 16s−2 + 6s − 3 Đồ hình ,trạng thái cho bởi hình H.4_10 2 8 • • • 1 X 3 S-1 X 2 S- 1 X 1 S- 1 6 R(s) C(s) x3 x2 -8 -16 -6 H.4_10 Từ đồ hình suy ra các phương trình trạng thái. x• = x 1 2 (4.66) x• = x 2 3 • x3 = - 6x1 - 16x2 - 8x3 + r Và phương trình output : x 6 = 1 + 8x2 + ) 2x3 Ct( (4.67) Dưới dạng ma trận : ⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡0⎤ • X ⎢ ⎥ X ⎢ ⎥ = ⎢ 0 0 1 ⎥ + ⎢0⎥ r() t (4.68) ⎣⎢−6 − 16 − 8⎦⎥ ⎣⎢1⎦⎥ Và Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.15
16. Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn C(t )= [ 6 8 2]X (4.69) Với ⎡ • ⎤ x ⎡ x1 ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ • • X = x X = ⎢ x ⎥ ⎢ 2 ⎥ 2 ⎢ • ⎥ ⎣⎢ x3 ⎦⎥ ⎢ x ⎥ ⎣⎢ 3 ⎦⎥ Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.16