Bài giảng Cơ sở tự động học - Chương II: Hàm chuyển và sơ đồ khối của hệ thống - Phạm Văn Tấn

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở tự động học - Chương II: Hàm chuyển và sơ đồ khối của hệ thống - Phạm Văn Tấn

1. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn Chương II: HÀM CHUYỂN VÀ SƠ ĐỒ KHỐI CỦA HỆ THỐNG • ĐẠI CƯƠNG. • ĐÁP ỨNG XUNG LỰC VÀ HÀM CHUYỂN. • SƠ ĐỒ KHỐI (BLOCK DIAGRAM). I.ĐẠI CƯƠNG Bước quan trọng thứ nhất trong việc thiết kế một hệ điều khiển là việc miêu tả toán học và mô hình hóa (modeling) cho thiết bị được kiểm soát. Một cách tổng quát, những đặc tính động của thiết bị này sẽ được xác định trước bằng một tập hợp các biến. Thí dụ, xem một động cơ điện trong hệ thống điều khiển. Ta phải xác định điện áp đặt vào, dòng điện trong cuộn dây quấn, moment được khai triển trên trục, góc dời và vận tốc của rotor, và những thông số khác nữa nếu cần thiết .Tất cả những thông số ấy được xem như các biến của hệ. Chúng liên hệ nhau thông qua những định luật vật lý được thiết lập và đưa đến các phương trình toán học dưới nhiều dạng khác nhau. Tùy bản chất của thiết bị, cũng như điều kiện hoạt động của hệ, một vài hoặc tất cả các phương trình ấy là tuyến tính hay không, thay đổi theo thời gian hay không, chúng cũng có thể là các phương trình đại số, phương trình vi phân hoặc tổng hợp. Các định luật vật lý khống chế nguyên tắc hoạt động của hệ điều khiển trong thực tế thường là rất phức tạp. Sự đặc trưng hóa hệ thống có thể đòi hỏi các phương trình phi tuyến và/hoặc thay đổi theo thời gian rất khó giải. Với những lý do thực tế, người ta có thể sử dụng Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.1
2. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn những giả định và những phép tính xấp xỉ , để nghiên cứu các hệ này với lý thuyết hệ tuyến tính. Có hai phương cách tổng quát để tiếp cận với hệ tuyến tính. Thứ nhất, hệ căn bản là tuyến tính, hoặc nó hoạt đông trong vòng tuyến tính sao cho các điều kiên về sự tuyến tính được thỏa. Thứ hai, hệ căn bản là phi tuyến, nhưng đã được tuyến tính hóa xung quanh điểm hoạt động định mức. Nhưng nên nhớ rằng, sự phân tích các hệ như thế chỉ khả dụng trong khoảng các biến mà ở đó sự tuyến tính còn giá trị. II. ĐÁP ỨNG XUNG LỰC VÀ HÀM CHUYỂN. 1. Đáp ứng xung lực(impulse). Một hệ tuyến tính, không đổi theo thời gian có thể được đặc trưng bằng đáp ứng xung lực g(t) của nó. Đó chính là output của hệ khi cho input là một hàm xung lực đơn vị δ(t). Hàm xung lực δ(t) = 0 ; t ≠ 0 . δ(t) ∞ ; t = 0 . ∞ • d ( t ) dt = 1 ị -∞ Tính chất thứ ba là tổng diện tích trên xung lực là một. Vì tất cả diện tích của xung lực thì tập trung tại một điểm, các giới hạn của tích phân có thể dời về góc mà không làm thay đổi trị giá của nó. b a 0 . ị d ( t ) dt = 1 Có thể thấy rằnga tích phân của δ(t) là u(t) (hàm nấc). t , t > 0 ì 1 = u (t) ( t ) dt = ị d í , t < 0 ỵ 0 - ¥ δ(t) g(t) t Hệ thống Xung lực đơn vị Một khi đáp ứng xung lực của hệ được biết, thì output c(t) của nó với một input r(t) bất kỳ nào đó có thể được xác định bằng cách dùng hàm chuyển. Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.2
3. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 2. Hàm chuyển của hệ đơn biến. Hàm chuyển (transfer function) của một hệ tuyến tính không thay đổi theo thời gian, được định nghĩa như là biến đổi Laplace của đáp ứng xung lực của nó, với các điều kiện đầu là zero. Đặt G(s) là hàm chuyển với r(t) là input và c(t) là output. G(s)= L [g(t)] (2.1) C(s) G(s) = (2.2) R(s) Trong đó : R(s)= L [r(t)] (2.3) C(s)= L [c(t)] (2.4) Với tất cả các điều kiện đầu đặt ở zero. Mặc dù hàm chuyển được định nghĩa từ đáp ứng xung lực, trong thực tế sự tương quan giữa input và output của hệ tuyến tính không thay đổi theo thời gian với dữ liệu vào liên tục, thường được miêu tả bằng phương trình vi phân thích hợp, và dạng tổng quát của hàm chuyển được suy trực tiếp từ phương trình vi phân đó. Xem phương trình vi phân với hệ số thực hằng, mô tả sự tương quan giữa input và output của hệ tuyến tính không thay đổi theo thời gian. d n c(t ) d n −1 c(t ) dc (t ) + a + + a + a c(t ) dt n n dt n −1 2 dt 1 d m r (t ) d m −1 r (t ) dr (t ) = b + b + + b + b r (t ) (2.5) m + 1 dt m m dt m −1 2 dt 1 Các hệ số a1,a2, an và b1, b2 bn là hằng thực vàn≥m. Một khi r(t) với t≥to và những điều kiện đầu của c(t) và các đạo hàm của nó được xác định tại thời điểm đầu t=t0, thì output c(t) với t≥t0 sẽ được xác định bởi phương trình (2.5). Nhưng, trên quan điểm phân giải và thiết kế hệ thống, phương pháp dùng phương trình vi phân để mô tả hệ thống thì rất trở ngại. Do đó, phương trình (2.5) ít khi được dùng trong dạng ban đầu để phân tích và thiết kế. Thực quan trọng để nhớ rằng, mặc dù những chương trình có hiệu quả trên máy tính digital thì cần thiết để giải các phương trình vi phân bậc cao, nhưng triết lý căn bản của lý thuyết điều khiển hệ tuyến tính là: các kỹ thuật phân giải và thiết kế sẽ tránh các lời giải chính xác của hệ phương trình vi phân, trừ khi các lời giải trên máy tính mô phỏng được đòi hỏi. Để được hàm chuyển của hệ tuyến tính mô tả bởi phương trình (2.5) , ta lấy biến đổi Laplace ở cả hai vế, với sự giả định các điều kiện đầu là zero. n n-1 m m-1 (S +anS + +a2S+a1)C(S)=(bm+1S +bmS + +b2S+b1)R(S) (2.6) m m −1 C(s) b m +1S + b m S + + b 2 S + b1 Hàm chuyển: G(s) = = n n −1 (2.7) R(s) S + a n S + + a 2 S + a1 Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.3
4. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn ♦ Có thể tóm tắt các tính chất của hàm chuyển như sau: *Hàm chuyển chỉ được định nghĩa cho hệ tuyến tính không thay đổi theo thời gian. * Hàm chuyển giữa một biến vào và một biến ra của hệ được định nghĩa là biến đổi Laplace của đáp ứng xung lực. Măt khác, hàm chuyển là tỷ số của biến đổi Laplace của output và input. * Khi xác định hàm chuyển, tất cả điều kiện đầu đều đặt zero. * Hàm chuyển thì độc lập với input của hệ. * Hàm chuyển là một hàm biến phức S. Nó không là hàm biến thực theo thời gian, hoặc bất kỳ một biến nào được dùng như một biến độc lập. • Khi một hệ thuộc loại dữ liệu vào digital, việc mô tả nó bằng các phương trình vi phân sẽ tiện lợi hơn. Và hàm chuyển trở thành một hàm biến phức Z. Khi đó, biến đổi Z sẽ được sử dụng. 3. Hàm chuyển của hệ đa biến. Định nghĩa của hàm chuyển dễ được mở rộng cho một hệ thống với nhiều input và nhiều output. Một hệ như vậy được xem là hệ đa biến. Phương trình (2.5) cũng được để mô tả sự tương quan giữa các input và output của nó. Khi xét sự tương quan giữa một input và một output, ta giả sử các input khác là zero. Rồi dùng nguyên lý chồng chất (super position) cho một hệ tuyến tính, để xác định một biến số ra nào đó do hậu quả của tất cả các biến vào tác đông đồng thời, bằng cách cộng tất cả các output do từng input tác động riêng lẽ. Một cách tổng quát, nếu một hệ tuyến tính có p input và có q output, hàm chuyển giữa output thứ i và input thứ j được định nghĩa là: C i (s ) Gij(s) = (2.8) R j (s ) Với Rk(s)=0 ; k=1,2 p ; k ≠j Lưu ý :phương trình (2.8) chỉ được định nghĩa với input thứ j, các input khác đều zero. Nếu các input tác đông đồng thời, biến đổi Laplace của output thứ i liên hệ với biến đổi Laplace của tất cả các input theo hệ thức . Ci(s) =Gi1(s).R1(s)+ Gi2(s).R2(s)+ +Gip(s).Rp(s) p C i (s) = ∑ C ij (s)R j (s) ; ( i=1, 2, 3 9) (2.9) j=1 và Gij(s) xác định bởi phương trình (2.8) Thật tiện lợi, nếu diễn tả phương trình (2.9) bằng một phương trình ma trận: C(s) = G(s). R(s) (2.10) ⎡C1 (s)⎤ ⎢C (s)⎥ Trong đó :C(s) = ⎢ 1 ⎥ (2.11) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢C q (s)⎦⎥ Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.4
5. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn Là một ma trận qx1, gọi là vector output. ⎡R1 (s)⎤ ⎢R (s)⎥ R(s) = ⎢ 2 ⎥ (2.12) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢R p (s)⎦⎥ Là một ma trận px1, gọi là vector input. ⎡G 11 (s) G 12 (s) .G 1p (s) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢G 21 (s) G 22 (s) .G 2 p (s)⎥ G (s) = ⎢ ⎥ (2.13) ⎢ ⎥ ⎣⎢G q1 (s) G q 2 (s) .G qp (s)⎦⎥ Là một ma trận qxp, gọi là ma trận chuyển (transfer matrix) Xem một thí dụ về một hệ đa biến đơn giản của một bộ điều khiển động cơ DC Các phương trình cho bởi : di (t) v(t) = R.i(t) + L (2.14) dt dω (t) T (t) = J . + Bω (t) + T (t) (2.15) dt L Trong đó : v(t): Điện áp đặt vào rotor i(t) : Dòng điên tương ứng của rotor. R : Điện trở nội cuộn dây quấn rotor. L : Điện cảm của rotor. J : Quán tính của rotor. B : Hệ số ma sát. T(t): moment quay. TL(t): moment phá rối, hoặc tải (moment cản). ω(t): Vận tốc của trục motor. Moment của motor liên hệ với dòng rotor bởi hệ thức : T(t)=Ki.i(t) (2.16) Trong đó, Ki : là hằng số moment Để tìm hàm chuyển giữa các input (là v(t) và TL(t)) và output (là ω(t)), ta lấy biến đổi Laplace hai vế các phương trình (2.14) đến (2.16). Giả sử điều kiện đầu là zero. V(s) = (R + LS) I(s) (2.17) T(s)= (B + JS) Ω(s) + TL(s) (2.18) T(s)= KI .I(s) (2.19) Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.5
6. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn Ki 1 => Ω(s) = V(S)− T (s) (B+ JS)(R+ LS) B+ JS L (2.20) Phương trình này có thể viết lại : C(s)= G11(s).R1(s) + G12(s).R2(s) (2.21) Trong đó C(s) = Ω(s) ; R1(s) = V(s) ; R2(s) = TL(s) Ki G (s ) = ; 11 (B + JS )(R + LS ) − 1 G (s ) = 12 B + JS G11(s) được xem như hàm chuyển giữa điên thế vào và vận tốc motor khi moment tải là zero. G12(s) được xem là hàm chuyển giưã moment cản và vận tốc motor khi điện thế vào là 0 . III. SƠ ĐỒ KHỐI ( block diagram ) Trong các hệ điều khiển phức tạp, việc vẽ sơ đồ chi tiết đòi hỏi nhiều thời gian. Vì vậy, người ta hay dùng một ký hiệu gọn gàng gọi là sơ đồ khối. Sự tổ hợp sơ đồ khối và hàm chuyển của hê sẽ trình bày bằng hình vẽ sự tương quan nhân quả giữa input và output. Chẳn hạn, sơ đồ khối H.2_1 để biểu diễn phương trình: C(s)= G(s)R(s). R(s) C(s) G(s) H.2_1 Mũi tên trên sơ đồ khối minh thị rằng, sơ đồ khối có tính nhất hướng (unilateral), tín hiệu chỉ có thê truyền theo chiều mũi tên. Mặc dù mọi hệ thống đơn biến có thể trình bày bằng một khồi duy nhất giữa input và output, nhưng sự tiện lợi của ý niệm về sơ đồ khối nằm ở chổ: nó có thể diễn tả những hệ đa biến và gồm nhiều bộ phận mà hàm chuyển của chúng được xác định. Khi đó toàn bộ hệ thống được trình bày bởi sự ghép nhiều khối của các bộ phận riêng rẽ, sao cho sự tham gia của chúng vào hình trạng chung của hệ được lượng giá . Nếu các hệ thức toán học của các bộ phận ấy được biết, thì sơ đồ khối có thể được dùng tham khảo cho lời giải giải tích hoăc cho máy tính. Xa hơn nữa, nếu tất cả các bộ phận của hệ đều tuyến tính, hàm chuyển cho toàn bộ hệ thống có thể tìm được bằng cách dùng những phép tính đại số về sơ đồ khối. Một điểm rất căn bản cần lưu ý, sơ đồ khối có thể dùng biểu diễn cho các hệ tuyến tính cũng như phi tuyến. Hãy trở lại thí dụ về động cơ DC ở trên. H.2_2a: bộ phận khuếch đại thì phi tuyến. Motor được giả sử tuyến tính hay hoạt đông ở vùng tuyến tính. Những tính chất động của nó biểu diển bằng phương trình (2.20). Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.6
7. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn H.2_2b: cùng hệ thống trên nhưng bộ phận khuếch đại thì tuyến tính. TL(s) _ v(t) Ω(s) v i(t) v Ki 1 vi (R+LS)(B+JS) B+JS + Bộ khuếch đại Động cơ phi tuyến T (s) H.2_2a L _ V(s) Ω(s) V (s) K 1 i K i (R+LS)(B+JS) B+JS + Bộ khuếch đại Động cơ tuyến tính H.2_2b Lưu ý là H.2_2a, vì bộ khuếch đại là phi tuyến, nên không có hàm chuyển giữa ngõ vào và ngõ ra của nó. Giả sử chúng chỉ có thể xác định bằng hệ thức liên hệ giữa hai biến vi(t) và v(t) mà thôi. Ngược lại, H2_2b, hàm chuyển giữa ngõ vào và ngõ ra của bộ khuếch đại là K. Và , V(s)=K.Vi(s). 1. Sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển . Một thành phần được dùng nhiều trong các sơ đồ khối của hệ điều khiển, đó là bộ cảm biến (sensing device), nó đóng vai trò so sánh tín hiệu và thực hiện vài thuật toán đơn giản như cộng, trừ, nhân và đôi khi tổ hợp của chúng. Bộ cảm biến có thể là một biến trở, một nhiêt trở hoặc một linh kiện chuyển năng khác (transducer), cũng có thể là một mạch khuếch đại vi sai, mạch nhân Sơ đồ khối của cảm biến trình bày ở H.2_3a,b,c,d. + H.2_3a,b,c: mạch cộng trừ thì tuyến tính. Nên các biến ở ngõ vào và ra có thể là biến theo t hoặc s ( biến đỏi Laplace ). e(t) = r(t) -c(t) (2.22) hoặc E(s)=R(s)-C(s) (2.23) Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.7
8. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn r(t) e(t)= r(t) – c(t) r(t) e(t)= r(t) + c(t) R(s) + _ E(s)= R(s) – C(s) R(s) + E(s)= R(s) + C(s) + c(t) C(s) c(t) C(s) H.2_3a H.2_3b r2(t) R2(s) + r1 (t) e(t)= r1(t) +r2(t) – c(t) r(t) e(t)= r(t) . c(t) E(s)= R1(s) +R2(s) – C(s) R1 (s) + _ c(t) C(s) c(t) H.2_3c H.2_3d H.2_3: Sơ đồ khối bộ cảm biến. Ở H.2_3d, mạch nhân thì phi tuyến, nên liên hệ giữa input và output chỉ có thê ở phạm vi thời gian (Time domain). Nghĩa là, e(t)=r(t).c(t) (2.24) Trong trường hợp này sẽ không đưa đến E(s)=R(s) .C(s). Có thể dùng định lý chập phức (complexe_convolution) của biến đổi Laplace để đưa (2.24) đến : E(s)=R(s)*C(s) (2.25) ♦ Một hệ tự điều khiển tuyến tính có thể được trình bày bằng sơ đồ khối chính tắc như H.2_4. Trong đó : r(t), R(s): tín hiệu tham khảo vào. c(t), C(s): biến số được kiểm soát ở ngõ ra. b(t), B(s): tín hiệu hồi tiếp. e(t), E(s): tín hiệu sai biệt ( error ). C(s) G(s) = : Hàm chuyển vòng hở hoặc hàm chuyển đường trực tiếp E(s) (forward path). C(s) M(s) = : Hàm chuyển vòng kín, hoặc tỉ số điều khiển . R(s) H(s): Hàm chuyển hồi tiếp (feedback transfer ) G(s).H(s): Hàm chuyển đường vòng (loop transfer) Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.8
9. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn r(t) e(t) C(s) G(s) R(s) E(s) + c(t) - b(t) B(s) H(s) H.2_4:Dạng chính tắc của sơ đồ khối một hệ tự điều khiển tuyến tính. Từ H.2_4 ta có : C(s)=G(s).E(s) (2.26) E(s)=R(s) – B(s) (2.27) B(s)=H(s).C(s) (2.28) Thế (2.27) vào (2.26): C(s)=G(s).R(s)-G(s).B(s) (2.29) Thay (2.28) vào (2.29): C(s)=G(s)R(s)-G(s).H(s)C(s) (2.30) Từ phương trình cuối cùng suy ra hàm chuyển đô lợi vòng kín: C(s) G(s) M (s) = = (2.31) R (s) 1 + G(s)H (s) 2. Sơ đồ khối và hàm chuyển của hệ thống đa biến. H.2_5 trình bày sơ đồ khối nhiều biến, với p input và q output. r1(t) c1(t) r(t) Hệ thống đa Hệ thống c(t) r2(t) c2(t) biến đa biến . . rp(t) cq(t) H.2_5b H.2_5a Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.9
10. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn H.2_5b được dùng nhiều vì đơn giản. Sự nhiều input và output được biểu diễn bằng vector . H.2_6 chỉ sơ đồ khối dạng chính tắc của hệ thống đa biến. E(s) R(s) + C(s) G(s) - B(s) H(s) H.2_6: Sơ đồ khối dạng chính tắc của hệ đa biến. Hàm chuyển được suy bằng cách dùng phép tính đại số các ma trận. C(s) = G(s). E(s) (2.32) E(s) = R(s) - B(s) (2.33) B(s) = H(s). C(s) (2.34) Ở đó : C(s) là ma trận qx1: vector output E(s), B(s), R(s): đều là ma trận px1 G(s) và H(s) là ma trận qxp và pxq : ma trận chuyển. Thay (2.34) vào (2.33) và rồi thay (2.33) vào (2.32) : C(s)=G(s). R(s) – G(s). H(s).C(s) (2.35) Giải C(s) từ (2.35) : C(s)=[ I + G(s). H(s)]-1. G(s). R(s) (2.36) Giả sử I + G(s). H(s) không kỳ dị (non singular). Nhận thấy rằng sự khai triển tương quan vào ra ở đây cũng tương tự như hệ đơn biến. Nhưng ở đây không thể nói về tỉ số C(s)/ R(s), vì chúng đều là các ma trận. Tuy nhiên, vẫn có thể định nghĩa ma trận chuyển vòng kín như sau: M(s) = [ I + G(s). H(s)]-1. G(s) (2.37) Phương trình (2.36) được viết lại : C(s) = M(s). R(s) (2.38) Thí dụ 2.1: Xem ma trận hàm chuyển đường trực tiếp và ma trận hàm chuyển hồi tiếp của hệ H.2_6 là : ⎡ 1 1 ⎤ ⎢ − ⎥ G ( s ) = s + 1 s (2.39) ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎡⎣1 0 ⎤ s + 2 ⎦ (2.40) H ( s ) = ⎢ ⎥ ⎣ 0 1 ⎦ Ma trân hàm chuyển vòng kín được cho bởi phương trình (2.37) và được tính như sau: Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.10
11. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn ⎡ 1 1 ⎤ ⎢1 + − ⎥ I + G (s)H (s) = s + 1 s ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 1 + ⎥ ⎣ s + 2 ⎦ ⎡s + 2 1 ⎤ ⎢ − ⎥ = s +1 s (2.41) ⎢ s + 3⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ s + 2⎦ ⎡s+3 1 ⎤⎡ 1 1 ⎤ − −1 1 ⎢s+2 s ⎥⎢s+1 s ⎥ (2.42) M(s) =[]I+G(s)H(s) G(s) = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆ s+2 1 ⎢ −2 ⎥⎢ 2 ⎥ ⎣ s+1⎦⎣ s+2⎦ Trong đó: s+2 s+3 2 s2 +5s+2 ∆ = + = s+1 s+2 s s(s+1) (2.43) Vậy: ⎡ 3s 2 + 9s + 4 1 ⎤ − s(s + 1) ⎢ ⎥ M (s) = ⎢ s(s + 1)(s + 2) s ⎥ (2.43) 2 3s + 2 s + 5s + 2 ⎢ 2 ⎥ ⎣⎢ s(s + 1) ⎦⎥ 3. Những định lý biến đổi sơ đồ khối. a. Các khối nối tiếp. Một số hữu hạn bất kỳ các khối nối tiếp có thể kết hợp bởi một phép nhân đại số. Đó là, n khối với hàm chuyển tương ứng G1,G2, Gn mắc nối tiếp thì tương đương một khối duy nhất có hàm chuyển là G cho bởi: n (2.44) G = G1.G 2 .G 3 G n = ∏ G i i=1 Thí dụ 2.2: R C R C G G G G 1 2 1 2 H.2_7 Phép nhân của hàm chuyển thì giao hoán : Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.11
12. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn Gi.Gj=Gj.Gi (2.45) Với mọi i,j. b. Các khối song song: n khối với hàm chuyển tương ứng G1,G2, ,Gn mắc song song thì tương đương một khối duy nhất có hàm chuyển G cho bởi: n G = ∑ G i=1 i R C G1 R C G1+G2 G2 c. Bảng biến đổi sơ đồ khối . Sơ đồ khối của hệ điều khiển phức tạp có thể đơn giản hóa bằng cách dùng các biến đổi. Trong bảng sau đây, chữ P được dùng để chỉ một hàm chuyển bất kỳ và W, X, Y, Z để chỉ những tín hiệu trong phạm vi tần số s. Stt Phương trình Sơ đồ khối Sơ đồ khối tương đương 1 Y = (P1P2) X X Y P1 P2 X Y P1P2 X Y 2 Y=P1X ± P2X + X Y P1± P2 P1 ± P2 + 3) Y=P1X± P2X P2 P1/P2 ± Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.12 m
13. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn X Y 4) Y = P1(X±P2Y) P1 1±P1P2 X + Y P1 + Y 5 Y=P1(X m P2Y) m X P2 1/P2 P1P2 W + W + + Z = W ± X ±Y Z Z 6a X ± ± Y ± ± Y X W + W Z Z 6b Z = W ± X ± Y + X ± ± X ± Y Y ± + Z = PX ± Y X Z X P Z 7 P ± Y ± Y 1/P + + X Z X Z 8 Z = P[ X ± Y ] P P Y ± Y ± P Y X P X Y 9 Y = PX P Y P Y Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.13
14. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn X Y X Y P 10 Y=PX P X X 1/P + Z + Z X X 11 Z=X±Y Y ± Z + Z ± ±Z Y + Z + Z X X 12 Z=X±Y X Y ± ± Y X m + 4. Thu gọn các sơ đồ khối phức tạp. Sơ đồ khối của các hệ tự điều khiển thực tế thì thường rất phức tạp. Để có thể đưa về dạng chính tắc, cần thu gọn chúng lại. Kỹ thuật thu gọn, có thể theo các bước sau đây : - Bước 1: kết hợp tất cả các khối nối tiếp, dùng biến đổi 1. - Bước 2: kết hợp tất cả các khối song song, dùng biến đổi 2. - Bước 3: giảm bớt các vòng hồi tiếp phụ, dùng biến đổi 4. - Bước 4: dời các “điểm tổng” về bên trái và cac “điểm lấy” về bên phải vòng chính, dùng biến đổi 7, 10 và 12. - Bước 5: lặp lại các bước từ 1-> 4, cho đến khi được dạng chính tắc đối với một input nào đó . - Bước 6: lặp lại các bước từ 1-> 5 đối với các input khác nếu cần . Các biến đổi 3, 5, 6, 8, 9 và 11 đôi khi cũng cần đến . Thí dụ 2.3 : Hãy thu gọn sơ đồ khối sau đây về dạng chính tắc. G3 + R + + C G1 G4 G2 + + _- H1 Bước 1: H2 G G G1G4 1 4 Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.14
15. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn Bước 2: G3 + + G1+G3 G2 Bước 3: + G1G4 G1G4 1-G G H + 1 4 1 H 1 Bước 4: không dùng. Bước 5: + C R G1G4 G2+ G3 1-G1G4H1 - H2 R + G G (G +G ) C 1 4 2 3 1 G G H - 1 4 1 H2 Thí dụ 2.4 : Hãy thu gọn sơ đồ khối thí dụ trên bằng cách cô lập H1 (để H1 riêng) Bước 1 và 2: R + + 1 2 C G1G4 G2+ G3 - + H1 H2 Không dùng bươc 3 lúc này, nhưng đi thăng đến bước 4 . Bước 4: dời điểm lấy 1 về phía sau khối [ ( G2+G3 )] R + 1 + 2 1 2 C G1G4 G2 +G3 + - 1 H1 G2+ G3 H2 Sắp xếp lại các “điểm tổng “ R + 2 + 1 2 1 C G1G4(G2+G3) Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.15 + - H2 1 H1 G2+ G3
16. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn Bước 3: thu gọn vòng phụ có chứa H2 . R + C G1G4(G2+G3) 1+G G H (G + G ) 1 4 2 2 3 + 1 H 1 G +G 2 3 Cuối cùng, áp dụng biến đổi 5 để di chuyển [1/( G1+G3)] khỏi vòng hồi tiếp . R C G1G4 G2+G3 1+G1G4H2(G2+ G3) + H1 Thí dụ 2.5 : Hãy thu gọn hệ sau đây về dạng hệ điều khiển hồi tiếp đơn vị. Thành phân Phi tuyến R + C G(s) - 1 S+1 Một thành phần phi tuyến ( trên đường truyền thẳng ) không thể thu gọn như biến đổi 5 được. Khối tuyến tính trên đường hồi tiếp có thể kết hợp vơí khối tuyến tính của đường truyền thẳng. Kết quả là: Thành phân Phi tuyến R + G(s) C S+1 S+1 - Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.16
17. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn Thí dụ 2.6 : Hãy xác định output C của hệ nhiều input sau đây : u1 + R + + C G1 G 2 + + H1 H2 + u2 Các bộ phận trong hệ đều tuyến tính, nên có thể áp dụng nguyên lý chồng chất . - Cho u1=u2=0. Sơ đồ khối trở nên. R + CR G1G2 + H H 1 2 Ở đó CR là output chỉ do sự tác đông riêng của R. từ phương trình (2.31) ⎡ G G ⎤ = 1 2 R C R ⎢ ⎥ ⎣1 − G1G 2 H 1 H 2 ⎦ - Cho R=u2=0, Sơ đồ khối trở nên : u1 + C + 1 G1 G2 H1H2 Ở đó C1 là đáp ứng chỉ do sự tác đông riêng của u1. Sắp xếp lại các khối : u1 + C1 G2 + G1H1H2 Vậy: ⎡ G 2 ⎤ C 1 = ⎢ ⎥ u 1 ⎣ 1 − G 1 G 2 H 1 H 2 ⎦ Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.17
18. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn - Cho R=u1=0. Sơ đồ khối trở nên : C2 G1G2 + H1 H2 + u2 Ở đó C2 là đáp ứng do tác đông riêng của u2 . u2 + C2 G1G2H1 + Vậy: H2 G 1G 2 H 1 C 2 = [ ]u 2 1 − G 1G 2 H 1H 2 Bằng sự chồng chất, đáp ứng của toàn hệ là: C = CR+C1+C2 G G R + G U + G G H u C = 1 2 2 1 1 2 1 2 1 − G 1G 2 H 1H 2 Thí dụ 2.7: Sơ đồ khối sau đây là một ví dụ về hệ nhiều input và nhiều output. Hãy xác định C1 và C2. C1 R1 G1 + -_ G 2 G3 R2 - _ C2 G4 Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang + II.18
19. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn a)Trước hết bỏ qua C2. Xét hệ thống với 2 input R1 ,R2 và output C1. C1 R1 + G1 - _ - G3G4 G2 + R 2 - Đặt R2 =0 và kết hợp với các điểm tổng: + R G1 C + G G G 2 3 4 Như vậy, C11 là output ở C1, chỉ do R1 gây ra. G1R 1 C11 = 1 − G1G 2G 3G 4 - Đặt R1=0: R 2 + C12 -G1G3G4 _ G2 C12 là output ở C1, chỉ do R2 gây ra. − G 1 G 3 G 4 R 2 C 12 = 1 − G 1 G 2 G 3 G 4 Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.19
20. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn Vậy: G1R1 − G1G3G4 R2 C1 = C11 + C12 = 1 − G1G2G3G4 b. Bây giờ, bỏ qua C1. Xét hệ thống với 2 input R1,R2 và output C2. C2 R2 G4 + _ - - _- G1G2 G3 + R1 Đặt R1=0. C R2 + 22 G4 + G1G2G3 Đặt R2=0. Vậy : G4 R2 C22 = 1− G1G2G3G4 R + 1 C21 -G1G2G4 _ G3 Vậy : − G1G 2G 4 R1 Chương II HàmC Chuy21 =ển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.20 1 − G1G 2G3G 4
21. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn Cuối cùng: C2 =C21+C22 . R 2 G 4 − G 1 G 2 G 4 R 1 C 2 = 1 − G 1G 2 G 3 G 4 BÀI TẬP CHƯƠNG II 2.1: Tìm hàm chuển của 1 hệ thống mà input và output của nó liên hệ bằng phương trình vi phân: d 2 y dy dx + 3 + 2y = x + . dt 2 dt dt 2.2 : Một hệ thống chứa thời trể có phương trình vi phân: Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.21
22. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn d y(t ) + y(t ) = x(t − T) dt Tìm hàm chuyển của hệ. 2.3 : Vị trí Y của 1 vật có khối lượng không đổi M liên hệ với lực f đặt lên nó bởi phương trình vi phân: d 2 y M = f dt 2 Xác định hàm chuyển tương quan giữa vị trí và lực. 2.4 : Một động cơ dc mang tải cho 1 moment tỉ lệ với dòng điện vào i. Nếu phương trình vi phân đối với động cơ và tải là: d 2 θ d θ J = B = ki dt 2 dt Trong đó J là quán tính rotor, B là hệ số ma sát. Xác định hàm chuyển giữa dòng điện vào và vị trí trục rotor. 2.5 : Một xung lực được đặt vào ngõ vào của 1 hệ thống và ở ngõ ra được 1 hàm thời gian e-2t . Tìm hàm chuyển của hệ. 2.6 : Đáp ứng xung lực của 1 hệ là tín hiệu hình sin. Xác định hàm chuyển của hệ và phương trình vi phân. 2.7 : Đáp ứng nấc của hệ thống là: 7 −t 3 − 2t 1 − 4t c = 1 − e + e − e . 3 2 6 Tìm hàm chuyển. 2.8 : Tìm hàm chuyển của các mạch bổ chính sau đây: R1 R1 vi vo i C vi vo C a1) R 2 b) i R2 R1 R + + + vi vo vo C1 C2 v i C i i R 2 - - - Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.22
23. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn c) d) C R R + 1 2 + + + vi i 2 C2 vi i vo i1 C1 vo R e) f) - - - - 2.9 : Tìm hàm chuyển của mạch điện gồm 2 mạch vẽ ở bài tập 2.8f nối tiếp. 2.10 : Xác định đáp ứng dốc (ramp) của 1 hệ có hàm chuyển: s 2 P (s) = s 2 + (3 / RC )s + 1 / R 2 C 2 2.11 : Xem 2 Mạch điện vẽ ở bài tập 2.8d và 2.8e. Hàm chuyển của mạch 2.9d là: a P(s ) = ; với a=1/RC. s + a 2 ⎛ a ⎞ Hỏi hàm chuyển của mạch 2.9e có bằng ⎜ ⎟ không? Tại sao? ⎝ s + a ⎠ II.12 : Sơ đồ khối chính tắc của 1 hệ tự kiểm được vẽ như sau : R + E C E K1 S(S+P) + B Xác định : K2S a) Hàm chuyển đường vòng GH. b) Hàm chuyển vòng kín C/R. c) Tỷ số sai biệt E/R. d) Tỷ số B/R. e) Phương trình đặc trưng. 2.13 : Thu gọn sơ đồ sau đây về dạng chính tắc và tìm output C. Cho k là hằng so. R + C k 1 (S+1) + _ - S Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.23 0.1
24. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn II.14 : Xác định hàm chuyển của hệ thống trong sơ đồ khối sau đây rồi đặc H1 =1/G1 ; H2 =1/G2 . C R + + G1 G2 + + + _ H1 H2 H 3 II.15 : Xác định C/R cho mỗi hệ sau đây : G2 a). + R + + C G1 + H1 G2 b). + R + + C G1 + H1 c). G2 + R + + C G1 + H 1 2.16 : Thu gọn các sơ đồ khối sau đây về dạng chính tắc: H - 3 R + + C G G G + 1 2 3 Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang _- _- II.24 H2 H1
25. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 2.17 : Xem sơ đồ khối của 1 hệ như sau . Xác định đáp ứng ở ngõ ra. 2 x2=cos2t x3 = t - + y + + d/dt 5 x =sint 1 LỜI GIẢI CHƯƠNG II 2.1 : Lấy biến đổi laplace phương trình trên, bỏ qua các số hạng do điều kiện đầu. S2 Y(s)+3SY(s) +2Y(s)=X(s)+SX(s) Y (s) ⎡ s + 1 ⎤ P(s) = = X (s) ⎣⎢ s2 + 3s + 2 ⎦⎥ ⎡ s + 1 ⎤ P (s) = Hàm chuyển của hệ : ⎢ 2 ⎥ ⎣ s + 3s + 2 ⎦ 2.2 : Lấy biến đổi laplace phương trình trên, bỏ qua điều kiện đầu: SY(s)+Y(s)=e-STX(s). Hàm chuyển của hệ là: Y(s) e−ST P(s) = = X (s) s +1 2.3 : Lấy laplace phương trình: Ms2Y(s)=F(s) Y (s) 1 Hàm chuyển : P(s) = = F (s) Ms 2 2.4 : Biến đổi laplace của phương trình: (JS2+BS).θ(s)=KI(s) θ(s) K Hàm chuyển: P(s) = = I(s) s(Js + B) 2.5 : Hàm chuyển là : P(s)=C(s)/R(s). Và R(S) =1, khi r(t)=δ(t). Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.25
26. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 1 Vậy: P(s) = C(s) = s + 2 II.6 : Hàm chuyển của hệ là phương trình laplace của đáp ứng xung lực của nó: 1 P ( s ) = s 2 + 1 1 c Dùng toán tử D: P(D) = = D 2 +1 r d 2 c D2c+c=r hoặc : + c = r dt 2 2.7 :Vì đạo hàm của hàm nấc là 1 xung lực, nên đáp ứng xung lực của hệ là dc 7 − t − 2 t 2 − 4 t p (t ) = = e − 3e + e dt 3 3 Biến đổi laplace của P(t) và hàm chuyển: 7 − 3 2 s + 8 P(s) = + + = 3(s + 1) s + 2 3(s + 4) (s + 1)(s + 2)(s + 4) 2.8 : v0 (s) s + a 1 1 1 a) P(s) = = ; với a = và b = + vi (s) s + b R1C R1C R 2 C a(s + b) 1 1 b) P(s) = với a = và b = b(s + a) (R1 + R 2 )C R 2 C (s + a1 )(s + b2 ) 1 1 c) P(s) = với a1 = − và b 2 = − (s + a2 )(s + b1 ) R1C1 R 2 C 2 1 b1a 2 = a1 b 2 ; b1 + a 2 = a1 + b 2 + R 2 C1 1 d) P(s) = 1 RC(s + ) RC 1 e) P(s) = 2 R1R2C1C2s + (R1C1 + R1C2 + R2C2 )s +1 s P(s) = 1 s + RC 2.9 : s 2 P(s)= P(s) = 3 1 s 2 + ( )s + RC R 2C 2 Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.26
27. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 2.10 : 1 1 1 c(t)= c(t) = − e − 2 t + t 4 4 2 2.11 : Sinh viên tự giải. 2.12 : K K a) GH = 1 2 s + p C G b) = (với dấu trừ cho biết hồi tiếp dương). R 1 − GH C K = 1 R s(s + p − K 1K 2 ) E 1 s + p c) = = R 1− GH s + p − K1K2 B 1 K K d) = = 1 2 R 1− GH s + p − K1K 2 e) Phương trình đặc trưng của hệ được xác định bởi: 1± GH=0 Trường hợp này vì là hồi tiếp dương nên :1-GH=0 =>s+p-K1K2 = 0 2.13 : C R K 1 (1+ K)s+1 0.1 KR C = (1+ K)s + (1+ 0.1K) 2.14 : Thu gọn các vòng trong. C R + G1 G1 1-G1H1 1-G2H2 _ H3 R G1G2 C (1-G1H1)(1-G2H2)+G1G2H3 2.15 : Sinh viên tự giải. 2.16 : Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.27
28. Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn C R + G2G3 G3 1+G1G2H1+G2H2 - H3 II.17 : y(t)=5(cost-2sin2t –t2). Chương II Hàm Chuyển Sơ Đồ Khối Của Hệ Thống Trang II.28